Bài giảng Cơ lý thuyết (Phần 2)

57 
PHẦN II. ĐỘNG HỌC 
Động học nghiên cứu các tính chất hình học của chuyển động vật thể mà không 
quan tâm đến nguyên nhân gây ra chuyển động (lực tác dụng và khối lượng). 
Đối tượng khảo sát của động học là động điểm (chất điểm chuyển động) và vật 
rắn. 
Nội dung khảo sát chuyển động của vật thể gồm các vấn đề chính: 
- Lập phương trình chuyển động. 
- Xác định các đặc trưng của chuyển động (vận tốc, gia tốc). 
- Tìm quan hệ giữa vận tốc, gia tốc của điểm thuộc vật, với chuyển động của 
vật. 
Kết quả nghiên cứu trong phần động học sẽ được ứng dụng để phát triển ở phần 
Động lực học và các học phần Nguyên lý máy, Thiết kế máy, Cơ học kết cấu, ... 
Chương 6. 
ĐỘNG HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM 
A. MỤC TIÊU 
- Hiểu được các phương pháp thiết lập phương trình chuyển động và các đại 
lượng đặc trưng của động học. 
- Nhớ các công thức xác định các đại lượng đặc trưng của chuyển động và mối 
quan hệ giữa chúng để giải các bài toán kỹ thuật. 
B. NỘI DUNG 
6.1. Khái niệm về động học chất điểm 
 6.1.1. Nhiệm vụ của động học chất điểm 
Động học chất điểm nghiên cứu hai vấn đề chính: 
- Thiết lập phương trình chuyển động của chất điểm. 
- Tìm các đặc trưng động học của chất điểm (vận tốc và gia tốc). 
 6.1.2. Các khái niệm 
Chuyển động của chất điểm là sự thay đổi vị trí của nó trong không gian và theo 
thời gian so với một vật được chọn trước gọi là hệ qui chiếu. 
Hệ qui chiếu là vật mốc để so sánh vị trí của chất điểm khảo sát thường được 
chọn là một hệ trục toạ độ. 
58 
Tập hợp các vị trí của chất điểm trong không gian qui chiếu đã chọn gọi là quĩ 
đạo của chất điểm trong hệ qui chiếu đó. 
Khi đối tượng nghiên cứu có kích thước quá nhỏ so với quỹ đạo của nó, hoặc 
không cần chú ý tới, thì coi là chất điểm chuyển động (động điểm) 
Ta có chuyển động thẳng hay chuyển động cong là tùy thuộc quĩ đạo của chất 
điểm là đường thẳng hay đường cong. 
 6.1.3. Các phương pháp khảo sát động học chất điểm 
Có nhiều phương pháp để khảo sát chuyển động của chất điểm, nhưng có ba 
phương pháp thường sử dụng là: phương pháp vector, phương pháp tọa độ Descartes 
và phương pháp tọa độ tự nhiên. 
6.2. Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp vector 
 6.2.1. Phương trình chuyển động của chất điểm 
x
0
r
y
z
M
Hình 6.1. Vector định vị của chất điểm M 
Khảo sát chất điểm M trong hệ quy chiếu cố định Oxyz. Tại mỗi thời điểm, vị trí 
của điểm M được xác định bởi vector định vị .OM r=
uuuur r
Khi M chuyển động thì vector 
r
r
 biến thiên cả hướng, độ dài và nó là hàm của thời gian t: 
( )r r t=
r r
 (6.1) 
 Biểu thức (6.1) là phương trình chuyển động của chất điểm dưới dạng vector và 
đồng thời cũng là phương trình quỹ đạo của điểm M trong hệ Oxyz. 
 6.2.2. Vận tốc chuyển động của chất điểm 
Gọi vận tốc trung bình của điểm trong khoảng thời gian Δt là: ,tb tb
rv v
t
D
=
D
ruur uur
mô 
tả gần đúng hướng đi và độ nhanh chậm của chuyển động. 
59 
x
y
z
0
r
M
r1
M1
v
r
v tb
 Hình 6.2. Xác định vận tốc chuyển động của chất điểm 
Khi Δt → 0, tbv
uur
sẽ tiến đến vận tốc tức thời ( )vr của điểm M tại thời điểm t: 
0 0
lim limtbt t
r d rv v r
t dtD ® D ®
D
= = = =
D
r rr uur r&
 (6.2) 
Vậy: Vận tốc của điểm tại thời điểm t bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của 
vector định vị .r
r
Đơn vị đo vận tốc: m/s hay km/h. 
Phương của vận tốc của điểm luôn cùng phương với tiếp tuyến của quỹ đạo 
chuyển động. 
 6.2.3. Gia tốc chuyển động của chất điểm 
Hình 6.3. Xác định gia tốc chuyển động của chất điểm 
Gia tốc của điểm là một đại lượng vector đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc theo 
thời gian. 
Tại thời điểm t, động điểm M có vận tốc là .v
r
Tại thời điểm lân cận: t1 = t + Δt, 
động điểm M có vận tốc là: 1 .v v v= + D
ur r r
x y
z
0
M v
w
v 1
v
v 1
M1
60 
Sau khoảng thời gian: Δt = t1 – t vận tốc biến đổi: 1v v vD = -
r ur r
(H. 6.3). Gia tốc 
trung bình của động điểm trong khoảng thời gian Δt là: w tb
v
t
D
=
D
ruur
. 
Khi Δt → 0, w tb
uuur
sẽ tiến đến gia tốc tức thời ( )wur của điểm M tại thời điểm t: 
0 0
w lim w limtbt t
v d v v r
t dtD ® D ®
D
= = = = =
D
r ruur uuur r r& &&
 (6.3) 
Vậy: Gia tốc của điểm tại thời điểm t bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của 
vận tốc v
r
 hay đạo hàm bậc hai theo thời gian của vector định vị .r
r
Đơn vị đo gia tốc: m/s
2
 hay km/h
2
. 
* Chú ý: 
1) Về mặt hình học: vector ,vD
r
w
uur
luôn hướng về phần lõm của quỹ đạo đường 
cong. 
2) Tính chất chuyển động: Căn cứ vào tích v.w
r uur
có thể xác định tính chất chuyển 
động: nếu động điểm chuyển động nhanh dần thì v
r
 tăng, do đó 
2 v.vv =
uur r r
 tăng, từ đó 
suy ra 
2
2.w v 0.d v
dt
= >
uur
uur r
Kết quả: 
w .v 0> Þ
uur r
động điểm chuyển động nhanh dần. 
w.v 0< Þ
uur r
động điểm chuyển động chậm dần. 
w.v 0= Þ
uur r
động điểm chuyển động đều. 
 6.3. Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp tọa độ Descartes 
 6.3.1. Phương trình chuyển động của chất điểm 
Vị trí của động điểm M trong hệ tọa độ Descartes Oxyz được xác định bởi các 
tọa độ x, y và z. Khi điểm M chuyển động thì các tham số x, y, z biến đổi liên tục theo 
thời gian t. Cho nên: 
( )
( )
( )
x x t
y y t
z z t
ì =
ï
=í
ï =î
 (6.4) 
Phương trình (6.4) là phương trình của động điểm trong hệ tọa độ Descartes. 
61 
 Hình 6.4. Vị trí của động điểm M trong hệ tọa độ Descartes 
Khi khử biến số thời gian t trong các phương trình chuyển động, ta có phương 
trình quỹ đạo. 
 6.3.2. Vận tốc chuyển động của chất điểm 
Gọi i, j, k
r r r
là các vector đơn vị của ba trục x, y, z và hình chiếu của vector vận 
tốc lên ba trục tọa độ lần lượt là vx, vy, vz. Ta có liên hệ: 
 i j kr x y z= + +
r r r r
 (6.5) 
Mặt khác: ( i j k ) i j kd r d x y z dx dy dzv
dt dt dt dt dt
+ +
= = = + +
r r r rr r r r
 (6.6) 
Chiếu biểu thức (6.6) lên ba trục tọa độ ta có: 
 ;X
dxv x
dt
= = & ;y
dyv y
dt
= = & z
dzv z
dt
= = & (6.7) 
Vậy: Hình chiếu của vector vận tốc lên một trục tọa độ nào đó bằng đạo hàm bậc 
nhất theo thời gian của tọa độ tương ứng. 
Ta cũng dễ dàng xác định được độ lớn cũng như hướng của vector vận tốc v
r
theo 
các hình chiếu vx, vy, vz: 
 2 2 2 2 2 2X y zv v v v x y z= + + = + +& & & (6.8) 
Gọi α, β, γ là góc hợp giữa v
r
 với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz, ta có: 
cos =
cos
cos
x
y
z
v
v
v
v
v
v
a
b
g
ì
ï
ï
ï =í
ï
ï =ïî
 (6.9) 
x
0
r
y
z
M
k
ji
62 
 6.3.3. Gia tốc chuyển động của chất điểm 
Hoàn toàn tương tự như xác định vận tốc. Gọi hình chiếu của vector gia tốc lên 
các trục tọa độ là wx, wy, wz và dựa vào kết quả của phần trước: 
2
2w
d v d r
dt dt
= =
r rur
 ta có 
được: 
2
2
2
2
2
2
w
w
w
x
x
y
y
z
z
dv d x x
dt dt
dv d y y
dt dt
dv d z z
dt dt
ì
= = =ï
ï
ï = = =í
ï
ï
= = =ï
î
&&
&&
&&
 (6.10) 
 Vậy: Hình chiếu véctơ gia tốc lên một trục tọa độ bằng đạo hàm bậc nhất theo 
thời gian của hình chiếu vận tốc lên trục đó hay bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian 
của phương trình động theo trục tương ứng. 
 Trị số của vector gia tốc được xác định theo công thức: 
 2 2 2 2 2 2w w w wX y z x y z= + + = + +&& && && (6.11) 
 Gọi α1, β1, γ1 là góc hợp giữa w
uur
 với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz, ta có: 
1
1
1
wcos =
w
w
cos
w
wcos
w
x
y
z
a
b
g
ì
ï
ï
ï =í
ï
ï =ïî
 (6.12) 
 * Chú ý: Căn cứ vào tích: v.w .x+y.y+z.zx=
r uur
& && & && & && ta xác định tính chất chuyển 
động, kết quả cụ thể: 
w.v 0> Þ
uur r
động điểm chuyển động nhanh dần. 
w.v 0< Þ
uur r
động điểm chuyển động chậm dần. 
w.v 0= Þ
uur r
động điểm chuyển động đều. 
 6.4. Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp tọa độ tự nhiên 
Phương pháp tọa độ tự nhiên dùng để nghiên cứu chuyển động của điểm khi biết 
đường cong quỹ đạo của nó. 
Hệ trục có ba trục: 
63 
+ Trục tiếp tuyến (trục τ): hướng theo chiều dương với véctơ đơn vị .t
r
+ Trục pháp tuyến chính (trục n): nằm trong mặt phẳng đường cong và hướng 
về phía lõm đường cong với véctơ đơn vị .n
r
+ Trục trùng pháp tuyến (trục b): có véctơ đơn vị b,
r
tạo với trục τ và trục n 
thành một tam diện thuận (b ^ n )t=
r r r
 6.4.1. Phương trình chuyển động của chất điểm 
 b
M
n
n
b
r
Hình 6.5. Vị trí của động điểm M trong hệ tọa độ tự nhên 
Hệ trục tọa độ tự nhiên: trên đường cong phẳng chọn gốc O và chiều dương 
đường cong như hình 6.5. 
Vị trí điểm M được xác định bằng cung ¼OM s= (s được gọi là tọa độ cong hay 
hoành độ cong của điểm M như hình 6.6). Khi điểm M chuyển động thì tọa độ cong s 
biến thiên theo thời gian: 
 s = s(t) (6.13) 
Phương trình (4.13) là phương trình chuyển động của chất điểm M trong hệ tọa 
độ tự nhiên. 
* Chú ý: tọa độ cong s có thể dương hoặc âm tùy vào chiều chuyển động. 
 6.4.2. Vận tốc của chất điểm 
Để xác định vận tốc của điểm ta dựa vào sự biến thiên của tọa độ cong s. 
Giả sử ở thời điểm t, động điểm ở M được xác định bởi tọa độ cong OM = s. 
Tại thời điểm lân cận: t1 = t + Δt, động điểm ở tại M1 có tọa độ cong OM1 = s1 = s 
+ Δs. 
Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian Δt: .tb
sv
t
D
=
D
Khi Δt → 0, tbv sẽ tiến đến vận tốc tức thời ( )v
r
của điểm M tại thời điểm t: 
64 
 0 0v lim v limtbt t
s ds s
t dtD ® D ®
D
= = = =
D
& (6.14) 
 Vậy: Giá trị vận tốc tại thời điểm t nào đó bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian 
của tọa độ cong s trên quỹ đạo. 
1
O
M
M 1
Hình 6.6. Biến thiên tọa độ cong s theo thời gian 
Phương chiều vector vận tốc v
r
luôn hướng theo tiếp tuyến của đường cong quỹ 
đạo tại M, do đó chiều của vector phụ thuộc vào dấu của giá trị v :s= & 
+ Nếu v 0s= >& : v
r
hướng theo chiều dương quỹ đạo 
+ Nếu v 0s= <& : v
r
hướng theo chiều âm quỹ đạo 
Nên: v .s t=
r ur
& (6.15) 
 6.4.3. Gia tốc của chất điểm 
Ta có: ( . )w .d v d s ds ds
dt dt dt dt
t t
t= = = +
r r ruur r& & & (6.16) 
Mà trong hệ tọa độ tự nhiên, Xerơ – Frênê đã chứng minh được: d n
ds
t
r
=
r r
Trong đó: ρ là bán kính cong của đường cong tại điểm M. 
Nên: d ds d ns
dt dt ds
t t
r
= =
r r r
& 
Do đó: 
2 2
w . .( ) w w n
s vds d ns s s s s n s n n
dt dt t
t
t t t t t
r r r
= + = + = + = + = +
r ruur r r r r r r r r&& & && & & && && 
Với: w ;dvs v
dtt
= = =&& &
2
w n
v
r
= (6.17) 
Vậy: Gia tốc của điểm trong hệ tọa độ tự nhiên bao gồm hai thành phần tiếp 
tuyến và pháp tuyến chính: 
65 
+ w :dvs v
dtt
= = =&& & gọi là gia tốc tiếp, nằm trên tiếp tuyến của quỹ đạo, đặc 
trưng cho sự biến đổi vận tốc theo thời gian. 
+ 
2
w :n
v
r
= gọi là gia tốc pháp, luôn nằm trên pháp tuyến chính của quỹ đạo, 
đặc trưng cho sự thay đổi phương của vận tốc. 
Vì: w w w nt= +
uur uuur uuur
 và w w nt ^
uuur uuur
 nên: 
2 2w w w nt= + (6.18) 
 6.4.4. Các dạng chuyển động đặc biệt của chất điểm 
a) Chuyển động đều 
Chuyển động đều là chuyển động có vận tốc là hằng số (v = const, w 0t = ). 
Phương trình chuyển động đều: 
os s vt= + (6.19) 
Trong đó: s0 là tọa độ ban đầu (t = 0). 
b) Chuyển động biến đổi đều 
Chuyển động biến đổi đều là chuyển động có gia tốc tiếp không đổi ( wt = 
const). Vận tốc và đoạn đường được xác định bởi công thức: 
0
2
0 0
v v w t; 
1s s v t + w
2
t
t
t
= +ì
ï
í
= +ïî
 (6.20) 
Trong đó: 
+ s0 là tọa độ ban đầu (t = 0). 
+ v0 là vận tốc ban đầu (t = 0). 
+ wt > 0 khi chuyển động là nhanh dần đều. 
+ wt < 0 khi chuyển động là chậm dần đều. 
6.5. Bài toán động học của chất điểm 
 6.5.1. Các loại bài toán 
Ta có hai loại bài toán động học của chất điểm: 
- Bài toán 1: Biết phương trình chuyển động. Tìm các đặc trưng chuyển động 
như: quĩ đạo, vận tốc, gia tốc, tính chất chuyển động của chất điểm? 
66 
- Bài toán 2: Biết một số điều kiện của chuyển động. Tìm phương trình chuyển 
động và các đặc trưng chuyển động? 
 6.5.2. Phương pháp giải bài toán 
Khi giải bài toán cần chú ý một số nội dung sau: 
1) Chọn phương pháp để giải: 
- Phương pháp vector dùng để nghiên cứu lý thuyết bài toán chuyển động. 
- Để giải cụ thể bài toán chuyển động ta sử dụng hai phương pháp: toạ độ 
Descartes và toạ độ tự nhiên. Phương pháp toạ độ tự nhiên được dùng khi ta biết quỹ 
đạo của chất điểm. 
2) Tìm phương trình chuyển động: 
Căn cứ vào các điều kiện chuyển động của chất điểm để thiết lập phương trình. 
3) Tìm quĩ đạo: 
Các phương trình chuyển động đã cho là những phương trình tham số. Để xác 
định phương trình quĩ đạo ta cần khử t và thiết lập quan hệ giữa các toạ độ. 
* Chú ý: Đối với phương trình dạng lượng giác để khử t ta thường dùng các 
công thức của lượng giác như: 1cossin 22 =+ aa . 
4) Tìm vận tốc và gia tốc: 
Tùy theo phương pháp phù hợp ta dùng công thức tương ứng để tính. 
5) Tìm tính chất của chuyển động: 
Để xác định tính chất một chuyển động cụ thể ta căn cứ vào dấu hiệu là tích vô 
hướng: .wv
r uur
- Trong toạ độ Descartes: zzyyxxwv &&&&&&&&& .... ++= 
- Trong toạ độ tự nhiên: twvwv .. = 
Ta có tính chất chuyển động của các dạng chuyển động trong bảng Tính chất 
chuyển động của các dạng chuyển động. 
6) Tìm bán kính cong của quĩ đạo: 
Theo công thức: 
2
wn
v
r
= à 
2
w n
v
r = 
67 
Bảng 6.1. Tính chất chuyển động của các dạng chuyển động 
Dấu hiệu 
Dạng quĩ đạo chuyển động Tính 
chất 
chuyển 
động 
Thẳng Cong 
.w 0v
® ®
>
0 0(0 90 )a< < 
Nhanh 
dần 
.w 0v
® ®
<
0 0(90 180 )a< < 
Chậm 
dần 
.w 0v
® ®
=
0( 90 )a = 
Đều 
Ví dụ 6.1: Cho phương trình chuyển động của chất điểm: 
2
2
3
4 1
x t
y t
ì =ï
í
= -ïî
 (x,y: m, t: s). 
 Xác định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc và tính chất của chuyển động? 
Bài giải: 
- Xác định quỹ đạo: 
Ta có: 
2
2
3 ( )
4 1 (b)
x t a
y t
ì =ï
í
= -ïî
Từ (a) 2 (c)
3
xtÞ = 
Thay (c) vào (b), ta được: 4. 1 3 4x 3 0
3
xy y= - Û - - = 
68 
Vậy quỹ đạo của chất điểm là đường thẳng có phương trình: 3 4x 3 0y - - = 
- Xác định vận tốc: 
2 26 10
8 
x
x y
y
v x t
v v v t
v y t
= =ìï Þ = + =í = =ïî
&
& (m/s) 
- Xác định gia tốc: 
2 2w 6 w w w 10
w 8 
x
x y
y
x
y
= =ìï Þ = + =í = =ïî
&&
&& (m/s
2) 
- Tính chất chuyển động: 
.w + yy 6 .6 + 8t.8 = 100tv xx t= =
r ur
&&& &&& > 0 
Mà w =10 (m/s2) = const 
Nên chất điểm chuyển động nhanh dần đều. 
Ví dụ 6.2. Một viên đạn bay trong mặt phẳng Oxy với quy luật: 
0
2
0
os ( )
sin ( )
2
x v tc a
gty v t b
a
a
=ì
ï
í
= - +ïî
 (x, y: m, t: s). 
Với vo là vận tốc ban đầu của viên đạn; α là góc bắn hợp với phương ngang của 
viên đạn. Tìm: 
a) Quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của viên đạn? 
b) Độ cao và tầm xa mà viên đạn đạt được? Với góc α bằng bao nhiêu thì độ cao 
và tầm xa đạt giá trị cực đại? 
Bài giải: 
x
y
0
vx
vy v
Hmax
LmaxLmax1/2. 
Hình 6.7. Minh họa cho ví dụ 6.2 
a) Xác định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của viên đạn 
- Xác định quỹ đạo: 
69 
Rút t từ (a) ta được: 
0
 (c)
os
xt
v c a
= 
Thay (c) vào (b): 
( )
2
20
0 2 2
0 0
( )
os sin tan
2 os 2 os
xg
x gv cy v x x
v c v c
a
a a
a a
= - + = - + 
Vậy quỹ đạo là một parabol có phường trình: ( )22 2
0
tan
2 os
gy x x
v c
a
a
= - + 
- Xác định vận tốc: 
0
0
os 
sin 
x
y
v x v  ... a) Xung lượng nguyên tố của lực ( Sd ) 
Xung lượng nguyên tố của lực là một đại lượng vector và bằng tích số giữa lực 
và thời gian vô cùng bé dt. 
dtFSd .= (10.9) 
b) Xung lượng hữu hạn của lực ( S ) 
 Xung lượng hữu hạn của lực trong khoảng thời gian từ 10 tt ® được xác định 
theo biểu thức: 
òò ==
1
0
1
0
.
t
t
t
t
dtFSdS (10.10) 
Đơn vị của xung lượng trong hệ SI là N.s (Niutơn.giây). 
* Chú ý: 
1. Nếu chiếu biểu thức (10.10) lên hệ trục toạ độ Descartes, ta có: 
113 
t1
x
t
t1
y
t
t1
z
t
S F .dt
S F .dt
S F .dt
o
o
o
x
y
z
ì
=ï
ï
ï
ï =í
ï
ï
ï =
ïî
ò
ò
ò
 (10.11) 
2. Nếu tFttFSconstF .)( 01 =-=®= . 
 10.1.4. Các định lý 
 10.1.4.1. Định lý 1 
Đạo hàm vector động lượng của cơ hệ theo thời gian của bằng tổng hình học tất 
cả ngoại lực tác dụng lên hệ. 
å= ekFdt
Qd (10.12) 
CM: Theo định luật Newton 4: ikekkkikekkk FFdt
vdmFFwm +=Û+= .. 
Đối với cơ hệ: 
e ik
k kk
dvm F F
dt
= +å å å
r ur ur
( )
e
kkk
d m v F
dt
Û =å å
r ur
 (Vì: 0=ikF ) 
e
k
dQ F
dt
Û = å
ur ur
 10.1.4.2. Định lý 2 
Biến thiên động lượng của cơ hệ trong khoảng thời gian nào đó bằng tổng xung 
lượng của tất cả ngoại lực tác dụng lên cơ hệ trong khoảng thời gian đó. 
å=- ekSQQ 01 (10.13) 
CM: Từ biểu thức (9.12), ta có: .
e
k
dQ F dt= å
ur ur
. 
Tích phân 2 vế: 0 1 0 1;t t Q Q® ® 
1 1 1
1
0 0 0
. .
Q t t
e e e
k ko k
Q t t
dQ Q Q F dt F dt S= - = = =å å åò ò ò
ur uur uur ur ur ur
* Chú ý: 
1. Nội lực không ảnh hưởng đến sự biến đổi của động lượng cơ hệ. 
114 
2. Chiếu biểu thức (10.12) lên hệ trục toạ độ vuông góc, ta có: 
x
y e
yk
z
dQ
dt
dQ
dt
dQ
dt
e
xk
e
zk
F
F
F
ì =ï
ï
ï =í
ï
ï =ï
î
å
å
å
 (10.14) 
3. Chiếu biểu thức (10.13) lên hệ trục toạ độ vuông góc, ta có: 
ï
ï
î
ïï
í
ì
=-
=-
=-
å
å
å
e
zk0z1z
e
yk0y1y
e
xk0x1x
SQQ
SQQ
SQQ
 (10.15) 
 10.1.5. Định luật bảo toàn động lượng 
- Nếu tổng các ngoại lực tác dụng bằng 0, thì động lượng cơ hệ được bảo toàn. 
0ekF Q const= Þ =å
uur ur
- Nếu tổng hình chiếu các ngoại lực trên một trục nào đó bằng 0, thì hình chiếu 
động lượng cơ hệ trên trục đó được bảo toàn. 
Đối với trục Ox: ek x0 QX const= Þ =å 
CM: Theo (10.12), ta có: 0ekF Q const= Þ =å
uur ur
: động lượng cơ hệ được bảo 
toàn. 
Tương tự, theo (10.14), ta có: ek x0 QX const= Þ =å : động lượng cơ hệ theo 
phương x được bảo toàn. 
 10.1.6. Bài toán áp dụng 
a) Phạm vi áp dụng 
Trong công thức của các định lý biến thiên động lượng có ba đại lượng: v, w và t, 
do dó nó thường được áp dụng trong các bài toán va chạm và chuyển động của chất 
lỏng. 
b) Trình tự giải: 
1. Xác định cơ hệ khảo sát. 
2. Đặt các ngoại lực tác dụng lên hệ: gồm lực hoạt động và phản lực lên kết. 
3. Chọn hệ trục toạ độ và áp dụng định lý để viết phương trình. 
115 
4. Giải phương trình, dựa vào các biểu thức định nghĩa động lượng và xung 
lượng để tìm các đại lượng yêu cầu 
Ví dụ 10.1: Nòng súng đại bác đặt nằm ngang có trọng lượng Q = 115kN. Viên 
đạn có trọng lượng P = 550N. Khi bắn viên đạn ra khỏi nòng súng với vận tốc 0v = 
900m/s. 
Xác định vận tốc giật lùi của nòng súng ở thời điểm viên đạn bay ra (H. 10.2). 
Giải: 
vo v
P
Q
N
Hình 10.2. Minh họa cho ví dụ 10.1 
Xét cơ hệ gồm: súng và viên đạn. 
Hệ ngoại lực tác dụng lên hệ: trọng lượng QP, và phản lực liên kết của bệ lên 
nòng súng N đều có phương thẳng đứng. 
Chọn trục x như hình vẽ. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương x, 
ta có: 
e 1 0
k 0 Q Qx xX = Û =å 
Trong đó: + 1xQ là động lượng của hệ theo phương x ở thời điểm viên đạn bay ra. 
 + 0xQ là động lượng của hệ theo phương x trước khi bắn. Ban đầu cơ 
hệ đứng yên nên 0xQ = 0. 
Gọi v là vận tốc giật lùi của viên đạn, ta có: 
1
0
0
0
550 .900 4,3 ( / )
115000
x
Q PQ v v
g g
Pv v m s
Q
= + =
Þ = - = - = -
Trả lời: 0v = - 4,3(m/s) (giá trị âm vì nòng súng bị giật lùi). 
116 
* Nhận xét: Ví dụ 10.1 cho ta giải thích chuyển động do phản lực ở tàu thủy, 
máy bay, tên lửa,  khi luồng nước hoặc luồng khí phụt ra phía sau thì tàu thủy, máy 
bay, tên lửa,  tiến lên phía trước. 
Ví dụ 10.2: Một dòng nước chảy từ ống có tiết diện F dội vào tường với vận tốc 
v vuông góc với tường thẳng đứng. 
Xác định lực tác dụng của nước lên tường. 
Giải: 
Hình 10.3. Minh họa cho ví dụ 10.2 
Khảo sát khối nước giới hạn bởi các mặt cắt 1, 2, 3. Sau thời gian dt nó di chuyển 
đến vị trí 1’, 2’, 3’. 
Áp dụng định lý bảo toàn động lượng của khối nước theo phương x trong khoảng 
thời gian dt: 
å=- ekxoxx SQQ 
Với: vmQQQ oxx .-=-=D 
 å -= dtRS ekx . 
Mà: dtvFsFVm ...... ggg === 
Do đó: dtRdtvF .... 2 -=- g 
à 2.. vFR g= . 
 10.2. Định lý biến thiên động năng 
 10.2.1. Công của lực 
 10.2.1.1. Các định nghĩa 
a) Công nguyên tố (dA) 
1 1' 
1 1' 
v 
2' 2' 
2 2 
3 3 
3' 3' 
117 
Hình 10.4. Xác định công nguyên tố 
* Định nghĩa: Công nguyên tố của lực F trên một đoạn dịch chuyển vô cùng bé 
ds là một đại lượng vô hướng và được xác định bởi biểu thức (H. 10.4): 
acos..dsFdA = (10.16) 
Trong đó a là góc giữa lực và đoạn dịch chuyển. 
Mặt khác: ds = v.dt, nên: drFdtvFdtvFdA ....cos.. === a . 
Vậy: drFdA .= (10.17) 
* Nhận xét: 
1. Từ biểu thức trên ta nhận thấy công của lực có thể là dương, âm hoặc bằng 
không: 
- Nếu: 
2
0 pa 0 : công động 
- Nếu: pap <<
2
 à dA < 0: công cản. 
- Nếu: 
2
p
a = à dA = 0. 
- Nếu: 0=a à dA = F.ds 
2. Biểu thức (10.17) được viết dưới dạng toạ độ Descartes với 
{ } { }, , ; , ,F X Y Z d r dx dy dz
ur r
 thì: 
Z.dzY.dyX.dxdA ++= (10.18) 
b) Công hữu hạn của lực (A) 
* Định nghĩa: Công hữu hạn của lực F trên một đoạn dịch chuyển hữu hạn của 
điểm đặt từ vị trí 0M đến 1M bằng tổng công nguyên tố dA trên đoạn đường đó. 
1 1 1
0 1
0 1 0 0 0
. . . cos .
M M M
M M
M M M M M
A dA F d r F v dt F dsa= = = =ò ò ò òuuuuuuur
ur r ur r
 (10.19) 
Khi F = const à A = F.s.cosa (10.20) 
x 
z 
y 
O 
M v 
a
F 
(C) r 
118 
Đơn vị của công trong hệ SI là: J (Joule), 1 J = 1 Nm. 
c) Công suất (N) 
* Định nghĩa: Công suất là công của lực sinh ra trong 1 đơn vị thời gian: 
dAN
dt
= 
Theo (9.31) thì: vF
dt
dtvF
dt
dAN ... === 
Hay: . . .cosN F v F v a= =
ur r
 (10.21) 
Trong đó a là góc giữa lực F
ur
 và vận tốc v
r
 của điểm đặt lực. 
Đơn vị của công suất là watt (W): 1 W = 1 J/s 
* Chú ý: Theo (10.20), Công A = 0 trong các trường hợp sau: 
+ F = 0. 
+ s = 0. 
+ ( )090 F sa = ^ur r 
 10.2.1.2. Tính công của một số lực thường gặp 
a) Công của trọng lực (H. 10.5) 
Ta có: A = ± P.h (10.22) 
Trong đó: + h là cao độ di chuyển của điểm đặt trọng lực 
 + Dấu “+” khi điểm đặt hạ xuống (chiều trọng lực cùng chiều chuyển 
động) và dấu “-“ khi ngược lại. 
Hình 10.5. Công của trong lực 
b) Công của lực tác dụng lên vật rắn quay (H. 10.6) 
Vật rắn quay quanh trục cố định z dưới tác dụng của lực F . Công của lực F khi 
vật quay được một góc j (H. 10.6). 
x 
z 
y 
O 
h 
M
P 
M1 
119 
Hình 10.6. Công của vật rắn quay quanh trục cố định 
Ta có: 
0
( )zA m F d
j
j= ò
ur
 (10.23) 
Trong đó )(Fmz là momen của lực F tác dụng lên vật đối với trục quay z, được 
xác định: ( ) . . .cosz tm F F r F r a= =
ur
 với tF là hình chiếu của F trên phương tiếp tuyến. 
Nếu: ( )z zm F M const= =
ur
 thì: 
 j.zMA = (10.24) 
c) Công của lực ma sát trượt trong chuyển động thẳng 
Ta có: 0msdA F ds fNds= - = - < (10.25) 
* Chú ý: Công của ma sát trượt luôn luôn âm. 
d) Công của lực ma sát trượt trong chuyển động lăn không trượt 
Hình 10.7. Công của lực ma sát trượt 
Vật lăn không trượt thì công của lực ma sát trượt bằng không (H. 10.7): 
dtvFdsFdA Pmsms ..-=-= 
Vì tiếp điểm là tâm vận tốc tức thời nên: 0=Pv 
z 
O r F 
j
k 
O 
P 
Fms N 
120 
Vậy: dA = 0 
e) Công của ngẫu lực ma sát lăn trong chuyển động lăn không trượt 
Đối với ngẫu lực ma sát lăn tạo bởi ( ),P Nur uur có lM kN= (k là hệ số ma sát lăn), 
thì: 
. . Cl
dsdA M d kN d kN
R
j j= - = - = - (10.26) 
Trong đó: + Cds là dịch chuyển của tâm con lăn. 
 + R bán kính con lăn. 
Nếu: N const=
uur
 thì: . . C
kA N s
R
= - (10.27) 
f) Công của lực đàn hồi tuyến tính (H. 10.8) 
Công của lực đàn hồi gây nên từ lò xo bị dãn (hay nén) một đoạn l : 
2.
2
CA l= - (10.28) 
Trong đó: + C là độ cứng của lò xo. 
 + l là độ dãn dài của lò xo. 
Hình 10.8. Công của của lực đàn hồi tuyến tính 
* Chú ý: Tổng công mọi nội lực của vật rắn bằng 0 trong bất kỳ chuyển động 
nào của vật. 
 10.2.2. Động năng 
 10.2.2.1. Các định nghĩa 
a) Động năng chất điểm 
Động năng chất điểm là một đại lượng vô hướng và bằng nửa tích số giữa khối 
lượng chất điểm với bình phương vận tốc của nó. 
2.
2
1
kkk vmT = (10.29) 
b) Động năng cơ hệ 
lo l
O 
F 
121 
Động năng cơ hệ bằng tổng động năng của các chất điểm thuộc hệ. 
åå == 2.2
1
kkk vmTT (10.30) 
Đơn vị của động năng: 22 /. smkg = Nm = J trùng với đơn vị đo của công. 
* Chú ý: Động năng luôn luôn dương. Còn công thì có thể dương, âm hoặc bằng 
0. 
 10.2.2.2. Động năng của vật rắn trong một số chuyển động đặc biệt 
a) Vật rắn chuyển động tịnh tiến 
Ta có: 2C
1T = M.v
2
 (10.31) 
Trong đó: v C là vận tốc khối tâm. 
CM: Khi đó mọi chất điểm thuộc vật đều có vận tốc như nhau: Ck vv = , do đó: 
2 2 2
k C k C C
1 1 1T = m .v = ( m ).v = M.v
2 2 2å å 
b) Vật rắn quay quanh trục cố định 
Ta có: 2.
2
1
wzJT = (10.32) 
Trong đó: zJ là momen quán tính của vật rắn đối với trục cố định z. 
CM: Mọi chất điểm thuộc vật có: w.kk rv = , trong đó r k là khoảng cách từ trục 
quay đến chất điểm, do đó: 
( )2 2 2 2 2k k k k z1 1 1T m .r .ω m .r ω J .ω2 2 2= = =å å 
 10.2.3. Các định lý biến thiên động năng 
 10.2.3.1. Định lý 
Biến thiên động năng của cơ hệ trên một đoạn dịch chuyển nào đó bằng tổng 
công của tất cả ngoại lực và nội lực tác dụng lên cơ hệ trên đoạn dịch chuyển ấy. 
 åå += ikek dAdAdT 
Hay: åå +=- ikek AATT 01 (10.33) 
* Nhận xét: 
1. Trong định lý động năng nói chung có mặt cả nội lực. 
2. Khi cơ hệ là vật rắn thì: 
122 
åå =-Þ= ekik ATTA 010 (10.34) 
3. Nếu ban đầu vật rắn đứng yên thì: T 0 = 0 à 1 ekT A= å 
 10.2.3.2. Định lý 2 
Đạo hàm theo thời gian của động năng cơ hệ bằng tổng công suất của ngoại lực 
và nội lực tác dụng lên cơ hệ. 
åå += ikek NNdt
dT (10.35) 
 10.2.4. Bài toán áp dụng 
Ví dụ 10.3: Một vật A có trọng lượng Q được buộc vào đầu một sợi dây không 
dãn, không trọng lượng vắt qua một ròng rọc cố định B. Đầu kia của dây buộc vào trục 
con lăn C. Con lăn C lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang cố định. Ròng rọc B 
và con lăn C có cùng trọng lượng P, bán kính R và được coi là đĩa tròn đồng chất (H. 
10.9). 
a) Tính động năng của hệ khi vật A rơi xuống với vận tốc Av . 
b) Xác định gia tốc của vật A. Biết ban đầu hệ đứng yên. 
Giải: 
a) Động năng của hệ 
- Hệ khảo sát gồm: vật A, B và C. 
- Phân tích chuyển động: Vật A ch động tịnh tiến. Vật B chuyển động quay quanh 
trục cố định tại O. Vật E chuyển động song phẳng. 
Hình 10.9. Minh họa cho ví dụ 10.3 
- Ta có động năng của hệ: A B CT T T T= + + . 
B 
Ro 
A 
Q 
C 
N 
P 
Fms 
P 
O 
vA 
123 
Mà: 22 ..
2
1.
2
1
AAAA vg
QvmT == . 
 2222 ..
4
1))(..
2
1.(
2
1..
2
1
A
A
BzB vg
P
R
vR
g
PIT === w . 
 222222 ..
4
3.
2
1))(.
2
1(
2
1..
2
1.
2
1
AA
A
CCECzC vg
Pv
g
P
R
vR
g
PvmIT =+=+= w . 
Do đó: 2 2 2 21 1 3 ( 2 ). . . . .
2 4 4 2A A A A
Q P P Q PT v v v v
g g g g
+
= + + = 
Kết quả: 22 .
2 A
Q PT v
g
+
= 
b) Gia tốc của vật A 
Cho vật di chuyển đi xuống một đoạn s. Theo định lý biến thiên động năng: 
 å=- ekATT 01 (a) 
Với: 21
2 .
2 A
Q PT T v
g
+
= = 
Hệ lực tác dụng: .N ,F ,R ,Q ,P ,P msOCB 
Nên ta có: NQPPek AAAAAAA CB +++++=å FmsR 0 
Vì: N ,F ,R ,P msOB có điểm đặt không dịch chuyển; còn CP vuông góc với phương 
dịch chuyển nên: .0FmsR 0 ===== NPP AAAAA CB 
Do đó: ek QA A Qs= =å 
Nên: 22 .
2 A
Q P v Qs
g
+
= (b) 
Đạo hàm 2 vế (b), ta có: 
AA vQvwg
PQ ...
2
)2(.2 A =
+ 
Kết quả: g
PQ
QwA .2+
= . 
* Chú ý: Trong Ví dụ 10.3 muốn tìm gia tốc góc e của ròng rọc B thì từ biểu 
thức (b) ta có: jw RsRvA == ,. nên ta được: jw QRRg
PQ
=
+ 22.
2
2 à ( )RPQ
Qg
2+
=e 
Ví dụ 10.4: Một thanh đồng chất OA = 2l quay quanh trục O trong mặt phẳng 
thẳng đứng (H. 10.10). 
124 
Hỏi khi thanh đứng yên ở vị trí thẳng đứng thì cần có vận tốc góc bằng bao 
nhiêu để chuyển động từ vị trí thẳng đứng đến vị trí nằm ngang? 
Giải: 
Hình 10.10. Minh họa cho ví dụ 10.4 
Áp dụng định lý biến thiên động năng: 
1 0
e
kT T A- = å . 
Với: 
2 2
2
1 0
1 2 . 30, . . ,
2 3
e
Oz k
Pl gT T J A Pl
g l
w
w w= = = = - Þ =å 
Trả lời: 3
2
g
l
w = 
C. CÂU HỎI ÔN TẬP 
1. Thế nào là động lượng đối với chất điểm và cơ hệ, xung lượng? 
2. Phát biểu định lý động lượng. Khi nào động lượng cơ hệ được bảo toàn. 
3. Định nghĩa công của lực? Xác định công của một số lực đặc biệt. 
4. Định nghĩa về động năng? Xác định động năng của vật rắn trong một số chuyển 
động đặc biệt. 
5. Phát biểu các định lý về động năng. 
D. BÀI TẬP ÔN TẬP 
Bài tập 1: Nòng súng đại bác đặt nằm ngang có trọng lượng Q.Viên đạn có trọng 
lượng P (P<Q). Khi bắn viên đạn ra khỏi nòng súng với vận tốc ov 
Xác định vận tốc giật lùi của nòng súng ở thời điểm viên đạn bay ra. 
Bài tập 2: Một dây treo vật A có trọng lượng Q quấn trên ròng rọc B có tâm O trọng 
Hai vật A và B được buộc vào hai đầu sợi dây không dãn, không trọng lượng vắt qua 
O 
K H 
Co 
A o 
A 
P 
C 
C1 A1 
O 
ω 
o 
Ao 
A 
P 
C 
C1 A1 
125 
một ròng rọc cố định B (như hình 10.11). Biết ròng rọc là đĩa tròn đồng chất có trọng 
lượng Q, bán kính R; Vật A có trọng lượng 1P ; vật B có trọng lượng 2P ; Xác định: 
a. Động năng của hệ khi vật A chuyển động đi xuống với vận tốc Av 
b. Gia tốc của vật A. Biết ban đầu hệ đứng yên. 
C
B
A
Hình 10.11. Minh họa cho ví dụ 2 
Bài tập 3: Hai vật A và B được buộc vào hai đầu sợi dây không dãn, không trọng 
lượng vắt qua một ròng rọc cố định B (như hình 10.12). Biết ròng rọc C là đĩa tròn 
đồng chất có trọng lượng Q, bán kính R; Vật A có trọng lượng 1P ;vật B có trọng 
lượng 2P .Bỏ qua ma sát giữa nền và vật B. Biết ban đầu hệ đứng yên. Hãy áp dụng 
định lý biến thiên động năng để xác định gia tốc của vật A 
O
A
C
B
Hình 10.12. Minh họa cho ví dụ 3 
126 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Nguyễn Quốc Bảo, Bài giảng Cơ lý thuyết 2 (Đại Học), Trường ĐH Phạm 
Văn Đồng (Tài liệu lưu hành nội bộ) (2015). 
[2] Nguyễn Quốc Bảo, Hồ Ngọc Văn Chí, Bài giảng Cơ lý thuyết 1(Đại Học), 
Trường ĐH Phạm Văn Đồng (Tài liệu lưu hành nội bộ) (2017). 
[3] Nguyễn Quốc Bảo, Đỗ Minh Tiến, Bài giảng Cơ lý thuyết (Cao đẳng), 
Trường ĐH Phạm Văn Đồng (Tài liệu lưu hành nội bộ) (2016). 
[4] Phan Văn Cúc, Nguyễn Trọng, Giáo trình Cơ học lý thuyết, Nxb. Xây dựng 
– Hà Nội (2003). 
[5] Vũ Duy Cường, Giáo trình Cơ lý thuyết, Nxb. Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí 
Minh (2003). 
[5] Ninh Quang Hải, Cơ học lý thuyết, Nxb. Xây dựng, Hà Nội (1999). 
[6] Trần Trọng Hỉ - Đặng Thanh Tân, Giáo trình Cơ học lý thuyết, Nxb. Đại học 
Quốc gia TP. Hồ Chí Minh (2010).