Bài giảng Cơ lý thuyết (Phần 1)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG 
KHOA KỸ THUẬT - CÔNG NGHỆ 
******* 
ThS. NGUYỄN QUỐC BẢO 
KS. HỒ NGỌC VĂN CHÍ 
BÀI GIẢNG 
CƠ LÝ THUYẾT 
(Bậc cao đẳng) 
Quảng Ngãi, 06/2018 
2 
MỤC LỤC 
MỞ ĐẦU ........................... 4 
PHẦN I. TĨNH HỌC 
Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 
1.1. Các khái niệm cơ bản.......... . ... . 5 
1.2. Hệ tiên đề tĩnh học ................. 8 
1.3. Liên kết và phản lực liên kết ......... ..10 
Chương 2: HỆ LỰC PHẲNG 
2.1. Momen của lực đối với một điểm..... 18 
2.2. Thu gọn hệ lực phẳng bất kì về một tâm... 20 
2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kì ..... 24 
2.4. Bài toán cân bằng vật rắn...... 26 
Chương 3: HỆ LỰC PHẲNG ĐẶC BIỆT 
3.1. Hệ lực phẳng đồng quy .... 32 
3.2. Hệ lực phẳng song song.... 36 
3.3. Ngẫu lực.... 38 
Chương 4: BÀI TOÁN MA SÁT 
4.1. Các khái niệm.... 40 
4.2. Bài toán cân bằng ma sát....... 41 
Chương 5: TRỌNG TÂM VÀ CÂN BẰNG ỔN ĐỊNH 
5.1. Trọng tâm của vật rắn ...... 46 
5.2. Cân bằng ổn định...... 51 
Chương 6: ĐỘNG HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM 
6.1. Khái niệm về động học chất điểm ... 57 
6.2. Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp vector...... 58 
6.3. Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp tọa độ Descartes ......... 60 
6.4. Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp tọa độ tự nhiên............ 62 
6.5. Bài toán động học của chất điểm...... 65 
Chương 7: CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN 
7.1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn......... 72 
7.2. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định............................ 73 
3 
7.3. Bài toán chuyển động cơ bản của vật rắn ................................................. 80 
Chương 8: CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM 
8.1. Các tiên đề cơ bản của động lực học......................................................... 85 
8.2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm. Hai bài toán cơ bản của 
động lực.................................................................................................................... 86 
8.3. Lực quán tính. Nguyên lý D’ Alembert.................................................... 93 
Chương 9: CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM 
9.1. Vật rắn chuyển động tịnh tiến .................................................... 104 
9.2. Vật rắn quay quanh một trục cốđịnh.......................................... .104 
Chương 10: CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 
10.1. Định lý biến thiên động lượng ............................................. 110 
10.2. Định lý biến thiên động năng.................................................... 116 
Tài liệu tham khảo.................................................................................... 126 
4 
LỜI NÓI ĐẦU 
Cơ lý thuyết là một khoa học cơ sở nghiên cứu chuyển động cơ học của vật rắn 
và các qui luật tổng quát của chuyển động đó. 
Do vậy, nhiệm vụ Cơ lý thuyết là: nghiên cứu các qui luật tổng quát của chuyển 
động và cân bằng của các vật thể duới tác dụng của lực đặt lên chúng. Hay nói cách 
khác, Cơ lý thuyết là khoa học về sự cân bằng và chuyển động của vật thể. 
Theo tính chất của nội dung mà Cơ lý thuyết được chia thành 3 phần: 
- Tĩnh học: Nghiên cứu các lực và điều kiện cân bằng của các vật thể dưới tác 
dụng của lực. 
- Động học: Nghiên cứu các tính chất hình học tổng quát của chuyển động. 
- Động lực học: Nghiên cứu các qui luật chuyển động của các vật thể dưới tác 
dụng của lực. 
Với các ý nghĩa trên, Bài giảng Cơ lý thuyết được sử dụng để giảng dạy cho sinh 
viên bậc cao đẳng các ngành Cơ khí và Xây dựng. Nội dung được biên soạn theo quan 
điểm ngắn gọn, dể hiểu và bảo đảm tính logic của kiến thức. 
Nội dung bài giảng được biên soạn theo chương trình ban hành năm 2017 gồm 
10 chương và được sử dụng để giảng dạy với thời lượng là 30 tiết (2 tín chỉ). 
Bài giảng được biên soạn cho đối tượng là sinh viên bậc cao đẳng, tuy nhiên nó 
cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên các bậc đại học và trung cấp. 
Mặc dù nhóm biên soạn cũng đã rất cố gắng để đáp ứng cho công tác dạy và học, 
nhưng chắc chắn sẽ không tránh khỏi các khiếm khuyết. Rất mong được sự đóng góp 
các ý kiến quí báu để cho Bài giảng ngày được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm 
ơn. 
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi vể địa chỉ email: baoqng2006@gmail.com hoặc 
chixddd09@gmail.com. 
 Quảng Ngãi, tháng 6/2018 
 Nhóm biên soạn 
5 
PHẦN I. TĨNH HỌC 
Tĩnh học vật rắn khảo sát sự cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của một hệ lực 
đã cho. 
Tĩnh học giải quyết hai vấn đề chính trong tĩnh học là: 
- Thu gọn hệ lực. 
- Điều kiện cân bằng của hệ lực. 
Về phương pháp nghiên cứu: áp dụng phương pháp tiên đề kết hợp phương pháp 
mô hình. 
Về ứng dụng: giải thích các hiện tượng thực tế, đồng thời làm cơ sở để học môn 
học Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu. 
Chương 1. 
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 
A. MỤC TIÊU 
- Giúp sinh viên trang bị kiến thức về các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề tĩnh học 
làm cơ sở để giải các bài toán tĩnh học. 
- Giúp sinh viên có kĩ năng xác định các phản lực liên kết của các loại liên kết. 
B. NỘI DUNG 
1.1. Các khái niệm cơ bản 
 1.1.1. Vật rắn tuyệt đối (vật rắn) 
Vật rắn tuyệt đối là vật mà khoảng cách giữa hai điểm bất kì của vật luôn luôn 
không đổi (hay nói cách khác dạng hình học của vật được giữ nguyên) dưới tác dụng 
của các vật khác. 
Trong thực tế các vật rắn khi tương tác với vật thể khác đều có biến dạng. Nhưng 
biến dạng đó rất bé, nên ta có thể bỏ qua được khi nghiên cứu điều kiện cân bằng của 
chúng. 
Ví dụ: Khi dưới tác dụng của trọng lực P
ur
dầm AB phải võng xuống (H. 1.1a), 
thanh CD phải dài ra (H. 1.1b). Nhưng độ võng của dầm và độ võng của thanh rất bé, 
ta có thể bỏ qua. Khi giải bài toán tĩnh học ta coi như dầm không võng và thanh không 
dãn mà kết quả vẫn đảm bảo chính xác và bài toán đơn giản hơn. 
6 
A B
PP
C
D
 (a) ( b) 
Hình 1.1. Vật rắn biến dạng 
 Trong trường hợp ta coi vật rắn là vật rắn tuyệt đối mà bài toán không giải được, 
lúc đó ta cần phải kể thêm biến dạng của vật. Bài toán này sẽ được nghiên cứu trong 
học phần Sức bền vật liệu. 
 Để đơn giản, ta coi vật rắn là vật rắn tuyệt đối. Đó là đối tượng để chúng ta 
nghiên cứu trong môn học này. 
 1.1.2. Lực 
 1.1.2.1. Định nghĩa 
Lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng tương hổ cơ học của vật này với vật 
khác mà kết quả làm thay đổi chuyển động hoặc biến dạng của các vật. 
 1.1.2.2. Các yếu tố của lực 
Lực được xác định bởi ba yếu tố: 
- Điểm đặt lực 
- Phương, chiều của lực 
- Cường độ hay trị số của lực 
Đơn vị đo cường độ của lực trong hệ SI là Newton (kí hiệu N). 
 1.1.2.3. Biểu diễn lực 
Lực được biểu diễn bằng một vector. 
Ví dụ: Lực F
ur
biểu diễn bằng vector lực AB
uuur
 (H. 1.2) 
A
B
F
Hình 1.2. Biểu diễn vector lực 
7 
Phương chiều của vector AB
uuur
biểu diễn phương chiều của lực ,F
ur
 độ dài của 
vector AB
uuur
theo tỉ lệ đã chọn biểu diễn trị số của lực, gốc vector biểu diễn điểm đặt của 
lực, giá của vector biểu diễn phương tác dụng của lực. 
 1.1.3. Các hệ lực khác 
 1.1.3.1. Hệ lực 
Hệ lực là tập hợp các lực tác dụng lên một chất điểm, một vật hay một hệ vật. 
Kí hiệu: ( 1 ,F
uur
2 ,F
uuur
3 ......F
uur
)nF
uur
hoặc: ( )kFj
uur
 với k = 1, 2, ..., n. 
 1.1.3.2. Hệ lực tương đương 
Hai hệ lực tương đương nhau khi chúng có cùng tác dụng cơ học. 
Kí hiệu: ( 1 ,F
uur
2 ,F
uuur
3 , ...,F
uur
)mF
uur
º ( 1 ,P
ur
2 ,P
uur
3 , ...,P
uur
)nP
uur
hoặc: ( 1 ,F
uur
2 ,F
uuur
3 , ...,F
uur
)mF
uur
: 
( 1 ,P
ur
2 ,P
uur
3 , ...,P
uur
)nP
uur
. 
* Chú ý: Nếu hai hệ lực tương đương có thể thay thế được cho nhau. Để khảo sát 
một hệ lực phức tạp người ta thường biến đổi tương đương về một hệ lực đơn giản hơn 
gọi là dạng tối giản. 
 1.1.3.3. Hệ lực cân bằng 
Hệ lực cân bằng là hệ lực mà dưới tác dụng của nó, vật rắn tự do ở trạng thái cân 
bằng. 
Kí hiệu: ( ) 0kFj º
uur
 1.1.3.4. Hợp lực 
Hợp lực là một lực tương đương với hệ lực 
Kí hiệu: R
ur
 º ( )kFj
uur
; R
ur
 là hợp lực của ( )kFj
uur
. 
 1.1.4. Trạng thái cân bằng của vật 
Một vật rắn ở trạng thái cân bằng là vật đó nằm yên hay chuyển động đều đối với 
vật khác “làm mốc” một hệ trục tọa độ nào đó mà cùng với nó tạo thành hệ quy chiếu. 
Ví dụ như hệ tọa độ Descartes Oxyz chẳng hạn. 
Trong tĩnh học, ta xem vật cân bằng là vật nằm yên so với trái đất. 
8 
1.2. Hệ tiên đề tĩnh học 
 1.2.1. Tiên đề 1 (Hai lực cân bằng) 
Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một vật rắn cân bằng là chúng có 
cùng phương tác dụng, ngược chiều nhau và cùng trị số. 
Trên hình 1.3, vật rắn chịu tác dụng bởi hai lực 1F
uur
và 2F
uur
cân bằng. 
Kí hiệu : ( 1 ,F
uur
2 )F
uur
º 0 (1.3) 
A
B
F2
F1
Hình 1.3. Hai lực cân bằng 
Biểu thức trên là điều kiện cân bằng đơn giản cho một hệ lực gồm có hai lực. 
 1.2.2. Tiên đề 2 (Thêm hoặc bớt một hệ cân bằng) 
Tác dụng của một hệ lực tác dụng lên một vật rắn không thay đổi nếu ta thêm vào 
hay bớt đi hai lực cân bằng nhau. 
Theo tiên đề này, hai hệ lực chỉ khác nhau một hệ lực cân bằng thì chúng hoàn 
toàn tương đương nhau. 
Từ hai tiên đề trên ta có hệ quả: 
* Hệ quả trượt lực: Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi khi 
ta dời điểm đặt lực trên phương tác dụng của nó. 
Chứng minh: Giả sử ta có lực F
uur
tác dụng lên vật rắn đặt tại điểm A (H. 1.4). 
Trên phương tác dụng của lực F
uur
ta lấy một điểm B và đặt vào đó hai lực 1F
uur
và 2F
uur
cân 
bằng nhau, với 1 2F F F= - =
uur uur ur
. 
A
B
F1
F2
F
Hình 1.4. Thêm bớt một cặp lực cân bằng 
9 
Theo tiên đề 2 thì: F
uur
º ( 1 ,F
uur
2 ,F
uuur
)F
ur
Nhưng theo tiên đề 1 thì ta cũng có: ( ,F
ur
2 )F
uur
º 0, do đó ta có thể bỏ đi. Như vậy 
ta có: 
F
uur
º ( 1 ,F
uur
2 ,F
uuur
)F
uur
 º 1F
uur
Điều đó chứng tỏ lực đã trượt từ A đến B mà tác dụng của lực không đổi. 
* Chú ý: Hai tiên đề trên và hệ quả chỉ đúng cho vật rắn cứng tuyệt đối. Còn đối 
với vật rắn biến dạng thì các tiên đề và hệ quả không còn đúng nữa. 
 1.2.3. Tiên đề 3 (về 2 quy tắc hình bình hành lực) 
Hai lực tác dụng tại một điểm tương đương với một lực tác dụng tại điểm đó và 
có vector lực bằng vector chéo của hình bình hành có hai cạnh là hai vector lực của 
các lực đã cho (H. 1.5) 
O
B
F C
A
R
F
1
2
Hình 1.5. Quy tắc hình bình hành lực 
Về phương diện vector ta có: 1R F= +
uur uur
2F
uur
Nghĩa là vector R
uur
bằng tổng hình học của các vector 1 ,F
uur
2F
uur
. 
Tứ giác OABC gọi là hình bình hành lực. 
Về trị số: 2 21 2 1 22 cosR F F F F a= + + 
(trong đó α là góc hợp bởi 2 véctơ 1 ,F
uur
2F
uur
) 
 1.2.4. Tiên đề 4 (về lực tương hỗ) 
Ứng với mỗi lực tác dụng của vật này lên vật khác, bao giờ cũng có phản lực tác 
dụng cùng trị số, cùng phương tác dụng, nhưng ngược chiều nhau. 
Giả sử một vật B tác dụng lên vật A một lực F
ur
thì ngược lại vật A tác dụng lên 
vật B một lực 'F F= -
ur ur
. Hai lực này có trị số bằng nhau, ngược chiều nhau, nhưng 
không cân bằng vì chúng đặt lên hai vật khác nhau (H. 1.6). 
10 
F
B
F'
A
Hình 1.6. Hai lực tương hỗ 
 1.2.5. Tiên đề 5 (về hóa rắn) 
Vật bị biến dạng cân bằng thì khi hóa rắn lại nó vẫn cân bằng dưới tác dụng của 
hệ lực đã cho. 
Tiên đề này dùng để khảo sát vật thực bằng kết quả của khảo sát vật rắn tuyệt 
đối. 
1.3. Liên kết và phản lực liên kết 
 1.3.1. Các khái niệm 
Vật rắn không tự do được ngăn cản sự dịch chuyển bằng các vật khác. Vật rắn 
không tự do gọi là vật bị liên kết, vật ngăn cản gọi là vật gây liên kết. 
Liên kết là những điều kiện cản trở chuyển động của vật. 
Lực liên kết là lực tác dụng qua lại giữa các vật không tự do. Lực liên kết do vật 
gây liên kết tác dụng lên vật khảo sát và cản trở chuyển động được gọi là phản lực liên 
kết, còn lực do vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết gọi là áp lực. 
Các lực không phải là phản lực liên kết gọi là các lực hoạt động. 
Ví dụ: Cho viên bi đặt trên mặt bàn (H. 1.7) 
Hình 1.7. Áp lực và phản lực liên kết của viên bi 
Viên bi là vật khảo sát, viên bi là vật chịu liên kết, mặt bàn là vật gây liên kết 
P: áp lực; N: phản lực liên kết. 
11 
 1.3.2. Các liên kết thường gặp 
 1.3.2.1. Liên kết tựa 
Liên kết tựa là liên kết hình thành khi vật tựa lên bề mặt của vật khác. Vật này 
tựa lên vật khác theo điểm, đường hoặc bề mặt (H. 1.8). 
NB
A
B
NA
A B
NA NB
 a) b) 
Hình 1.8. Các phản lực liên kết tựa 
Giả thiết: không ma sát. 
Phản lực: phản lực pháp N
uur
Đặc điểm: 
+ Phương: vuông góc mặt tựa (đường tựa) hoặc phương chuyển động. 
+ Chiều: hướng vào vật khảo sát (cản trở chuyển đông của vật) 
+ Điểm đặt: tại điểm tiếp xúc. 
 1.3.2.2. Liên kết bản lề 
a) Bản lề trụ 
Liên kết bản lề trụ là liên kết chỉ cho phép vật quay quanh một trục cố định trong 
không gian. 
Hai vật có liên kết bản lề khi chúng có trục (chốt) chung, có thể quay đối với 
nhau. 
Phản lực là R
ur
 (H. 1.9) có đặc điểm: 
+ Phương và chiều: đi qua tâm trục A và chưa được xác định. 
+ Trị số: chưa xác định và phản lực được chia làm hai thành phần vuông góc 
nhau ,X Y
uur ur
theo hai trục tọa độ. 
+ Điểm đặt: đặt tại điểm tiếp xúc. 
12 
x
y
XA
YA RA
A x
y
XA
YA RA
A 
 (a) ( b) 
Hình 1.9. Phản lực liên kết bản lề trụ 
 b) Bản lề cầu 
Liên kết bản lề cầu là liên kết không cho vật tịnh tiến theo 3 phương mà chỉ cho 
phép vật quay quanh một điểm cố định trong không gian. 
Bản lề cầu được hình thành nhờ một quả cầu gắn vào đầu vật gây liên kết (H. 
1.10) 
 (a) (b) 
Hình 1.10. Phản lực liên kết bản lề cầu 
Phản lực R
ur
 có đặc điểm: 
+ Điểm đặt: tại tâm O của vỏ cầu 
+ Phương và chiều: chưa xác định. Phản lực được chia làm ba thành phần 
, ,X Y Z
uur ur ur
theo ba trục tọa độ. 
* Chú ý: 
1) Phương và chiều của các phản lực liên kết bản lề chưa xác định. Để tính toán 
ta giả định cho nó một chiều nào đó, nếu kết quả phản lực liên kết mang dấu dương 
13 
"+" thì chiều giả định là đúng, nếu kết quả mang dấu âm "-" thì chiều thực ngược 
chiều giả định. 
2) Trong kỹ thuật có các mô hình liên kết gối đỡ dung để đỡ các dầm, khung. Có 
hai dạng: 
- Dạng 1: Gối đỡ di động (gối con lăn) 
Có phản lực liên kết được xác định như liên kết tựa có một thành phần (H. 1.11a) 
a) b) 
Hình 1.11. Phản lực liên kết của gối di động và gối cố định 
- Dạng 2: Gối đỡ cố định 
Có phản lực liên kết được xác định như liên kết trụ có hai thành phần (H. 1.11b). 
 1.3.2.3. Liên kết dây mềm 
Giả thiết: dây mềm, thẳng không giãn bị kéo căng (H. 1.12). 
Phản lực là sức căng dây T
ur
có các đặc điểm: 
+ Phương: dọc dây 
+ Chiều: hướng ra ngoài vật khảo sát (cản trở chuyển động của vật) 
+ Điểm đặt: tại điểm buộc dây. 
P
T 2
T 1
Hình 1.12. Minh họa sức căng dây 
 1.3.2.4. Liên kết thanh 
Liên kết thanh là liên kết mà vật khảo sát có liên kết bản lề với một thanh thẳng 
hoặc cong (H. 1.13a) 
14 
 P
B
A
D
C
S AB SCD
E
D A
C
P
S ADS CE
B
a) b) 
Hình 1.13. Minh họa ứng lực trong liên kết thanh 
Giả thiết: chỉ có lực tác dụng ở hai đầu và bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh. 
Phản lực là ứng lực S
ur
có đặc điểm: 
+ Phương: đường thẳ ... t trượt: s F .m f N= 
- Điều kiện cân bằng ma sát lăn: M .l k N= 
* Chú ý: Kết quả bài toán là giá trị biên của miền cân bằng (vật bắt đầu trượt 
hoặc bắt đầu lăn) 
 4.2.2. Trình tự giải bài toán ma sát 
Để giải bài toán ma sát ta tiến hành theo bốn bước như sau: 
1) Chọn vật khảo sát 
2) Xác định hệ lực cân bằng gồm: 
+ Các lực hoạt động (các lực đã cho) 
+ Các phản lực liên kết 
+ Các lực ma sát: ma sát trượt smF
ur
 (nếu vật có xu hướng trượt) và ma sát lăn 
Ml (nếu vật có xu hướng lăn). 
3) Lập hệ phương trình cân bằng kết hợp điều kiện cân bằng ma sát 
4) Giải hệ phương trình và biện luận kết quả (nếu cần) 
 4.2.3. Các ví dụ 
Ví dụ 4.1: Cho mặt phẳng OA có thể quay quanh O và lập với mặt phẳng nằm 
ngang một góc α. Trên thanh đặt một vật nặng có trọng lượng P, tăng dần góc α. 
Hỏi góc nghiêng α là bao nhiêu để cho vật bắt đầu trượt? Biết hệ số ma sát trượt 
giữa vật và mặt OA là f. 
Bài giải: (Phương pháp trạng thái tới hạn) 
Khảo sát vật có trọng lượng P. 
Hệ lực tác dụng lên vật gồm: 
+ Trọng lượng: P
ur
+ Phản lực liên kết: N
uur
43 
+ Lực ma sát trượt: smF
ur
Hệ lực s( , , ) 0mP N F º
ur uur ur
O
Fmsx
N A
P
y
Hình 4.2. Minh họa cho ví dụ 4.1 
Hệ các phương trình cân bằng: 
ssin 0 ( )
os 0 ( )
mX P F a
Y Pc N b
a
a
ì = - + =ï
í
= - + =ïî
å
å
Điều kiện cân bằng ma sát trượt: 
s F .Nm f= (c) 
Từ (b) osN Pc aÞ = 
Từ (a) s sinmF P aÞ = 
Thay giá trị vào (c): sin . os tan tanP f Pc fa a a j a j= Û = = Û = 
Vậy: Để vật bắt đầu trượt thì: a j> (góc ma sát) 
Ví dụ 4.2: Cho một con lăn có bán kính R có trọng lượng P đặt lên mặt phẳng 
nghiêng một góc α. 
Xác định góc α là bao nhiêu để con lăn cân bằng? Biết rằng hệ số ma sát trượt và 
lăn lần lượt là f và k. 
Fmst
x
N
P
y
R
Ml
I
Hình 4.3. Minh họa cho ví dụ 4.2 
44 
Bài giải: (Sử dụng bất đẳng thức) 
Khảo sát sự cân bằng của con lăn. 
Hệ lực tác dụng lên con lăn gồm: 
+ Trọng lượng: P
ur
+ Phản lực liên kết: N
uur
+ Lực ma sát trượt: smF
ur
+ Mômen ngẫu lực ma sát lăn: lM 
Hệ lực s( , , , ) 0m lP N F M º
ur uur ur
Hệ các phương trình cân bằng: 
ssin 0 ( )
os 0 ( )
sin . 0 ( )
m
I l
X P F a
Y Pc N b
M P R M c
a
a
a
ì = - + =
ïï = - + =í
ï = - =ïî
å
å
å
Điều kiện cân bằng ma sát: 
s 
F . ( )
M . ( )
m
l
f N d
k N e
£ì
í £î
Từ (a) s sinmF P aÞ = 
Từ (b) osN Pc aÞ = 
Từ (c) M . .sinl P R aÞ = 
- Điều kiện cho con lăn không trượt: 
Thay giá trị vào (d), ta có: sin . osP f Pca a£ 
sintan arctanf
os
f
c
a
a a
a
Û = £ Û £ 
- Điều kiện cho con lăn không lăn: 
Thay giá trị vào (e), ta có: sin . osPR k Pca a£ 
sintan arctan
os
k k
c R R
a
a a
a
Û = £ Û £ 
Vì: f
R
k
<< nên ta có bảng biện luận điều kiện cân bằng như sau: 
45 
a 0 arctan k
R
 arctan f 
Trượt Không trượt Không trượt Trượt 
Lăn Không lăn Lăn Lăn 
Điều kiện vật Khg trượt - Khg lăn Lăn - Khg trượt Lăn + Trượt 
Vậy: Để con lăn cân bằng (không lăn, không trượt) thì: arctan k
R
a £ 
C. CÂU HỎI ÔN TẬP 
1. Ma sát là gì? Có mấy loại ma sát? Cho ví dụ 
2. Các định luật về ma sát trượt và ma sát lăn? 
3. Khi nào lực ma sát có trị số lớn nhất, khi nào bằng không? Khi nào momen ma sát 
lăn có trị số lớn nhất, khi nào bằng không? 
4. Điều kiện để vật cân bằng không lăn, không trượt? 
5. Phương pháp giải bài toán cân bằng của vật rắn khi có ma sát (trượt và lăn)? 
6. Vì sao ở những ổ trục người ta thường đặt vòng bi và thường xuyên bôi dầu? 
D. BÀI TẬP ÔN TẬP 
Bài tập 1: Cho một khối trụ có bán kính đáy R có trọng lượng P đặt lên mặt phẳng 
nghiêng một góc α. Xác định góc α là bao nhiêu để khối trụ không lăn. Biết rằng hệ số 
ma sát lăn là k. 
P
RO
P
y
x
A
B 
Hình 4.4. Minh họa cho bài tập 1 Hình 4.5. Minh họa cho bài tập 2 
Bài tập 2: Một chiếc thang AB= 2a trọng lượng P có đầu A tựa lên tường thẳng đứng 
còn đầu B tựa lên sàn nằm ngang không nhẵn. Cho hệ số ma sát trượt giữa sàn và 
thang là f. Xác định góc α để thang cân bằng. 
46 
Chương 5. 
TRỌNG TÂM VÀ CÂN BẰNG ỔN ĐỊNH 
A. MỤC TIÊU 
- Trang bị cho sinh viên kiến thức và kĩ năng để giải được bài toán xác định 
trọng tâm của vật rắn, bài toán cân bằng ổn định và cân bằng lật 
B. NỘI DUNG 
5.1. Trọng tâm của vật rắn 
 5.1.1. Khái niệm 
 Giả sử có vật rắn A, ta chia vật rắn thành n phần tử khá bé có trọng lượng lần 
lượt là 1 2, ,..., nP P P
ur uur uur
 (H. 5.1). Vì khoảng cách giữa các phần tử khá nhỏ nên ta có thể 
xem hệ lực 1 2( , ,..., )nP P P
ur uur uur
 song song cùng chiều. Hệ lực song song này có hợp lực là 
1
n
i
i
P P
=
= å
uur ur
 đặt tại điểm C. Lực P
uur
 là trọng lượng của vật rắn, còn điểm C là trọng tâm 
của vật rắn. 
P2
P
Pn
P1 C
P i
 Hình 5.1. Trọng tâm của vật rắn 
Vậy: Trọng tâm của vật rắn là điểm đặt của trọng lực tác dụng lên vật rắn đó. 
 5.1.2. Tọa độ trọng tâm vật rắn 
Giả sử có vật rắn A, ta chia vật rắn thành n phần tử khá bé có trọng lượng lần 
lượt là 1 2, ,..., nP P P
ur uur uur
. 
Gọi 
1
,
n
k
k
P P
=
= å
ur ur
ta có công thức tính tọa độ trọng tâm của vật rắn: 
.k k
C
P x
x
P
= å ; .k kC
P y
y
P
= å ; .k kC
P z
z
P
= å (5.1) 
47 
Trong đó: xk, yk, zk là tọa độ của các điểm đặt lực Pk của phần tử thứ k (với 
1,k n= ). 
 5.1.3. Tọa độ trọng tâm của hình phẳng – Momen tĩnh của hình phẳng đối với 
một trục 
 5.1.3.1. Tọa độ trọng tâm của hình phẳng 
Giả sử có vật rắn A đồng chất có bề dày không đổi, khi đó việc xác định tọa độ 
trọng tâm giống như xác định tâm của hình phẳng đó. 
Công thức xác định tọa độ trọng tâm của tấm phẳng trong mặt phẳng Oxy như 
sau: 
 1 1
. .
;
n n
k k k k
k k
C C
S x S y
x y
S S
= == =
å å
 (5.2) 
* Chú ý: Ta có công thức xác định tọa độ trọng tâm trong các trường hợp cụ thể 
như: 
1) Đối với vật rắn đồng chất 
1 1 1
. . .
; ;
n n n
k k k k k k
k k k
C C C
V x V y V z
x y z
V V V
= = == = =
å å å
 (5.3) 
2) Đối với vật rắn là tấm phẳng đồng chất 
1 1 1
. . .
; ;
n n n
k k k k k k
k k k
C C C
S x S y S z
x y z
S S S
= = == = =
å å å
 (5.4) 
3) Đối với vật rắn là thanh đồng chất 
1 1 1
. . .
; ;
n n n
k k k k k k
k k k
C C C
L x L y L z
x y z
L L L
= = == = =
å å å
 (5.5) 
Trong đó: xk, yk, zk là tọa độ trọng tâm của phần tử thứ k (với 1,k n= ). 
 Lk, Sk, Vk là chiều dài, diện tích, thể tích của phần tử thứ k 
 5.1.3.2. Momen tĩnh của hình phẳng đối với một trục 
* Định nghĩa: Mômen tĩnh của hình phẳng đối với một trục bằng tích của diện 
tích và tọa độ trọng tâm của hình phẳng đó. 
Giả sử hình phẳng được chia thành n phân tố, khi đó công thức xác định 
mômen tĩnh của hình phẳng như sau: 
48 
1 1 1 1
;
n n n n
x i i i y i i i
i i i i
S Sx F y S Sy F x
= = = =
= = = =å å å å (5.6) 
Đơn vị cơ bản của mômen tĩnh của hình phẳng đối với một trục là m3. 
* Tính chất: 
+ Nếu trục đi qua trọng tâm hình phẳng thì mômen tĩnh của hình phẳng đối với 
trục đó bằng không. 
+ Tọa độ x, y có thể dương hoặc âm do đó mômen tĩnh của hình phẳng đối với 
trục có thể dương hoặc âm. 
+ Công thức xác định tọa độ trọng tâm hình phẳng theo mômen tĩnh : 
 ;y xc c
S Sx y
F F
= = (5.7) 
 5.1.4. Một số phương pháp xác định trọng tâm 
 5.1.4.1. Phương pháp đối xứng 
Nếu vật đồng chất có mặt phẳng đối xứng, một trục hoặc tâm đối xứng thì trọng 
tâm của vật nằm trên mặt phẳng đối xứng, một trục hoặc tâm đối xứng. 
 5.1.4.2. Phương pháp chia vật (vật ghép) 
Một vật có thể phân chia thành n phần tử sao cho vị trí trọng tâm của các phần tử 
đó có thể xác định một cách dễ dàng, lúc này tọa độ trọng tâm sẽ được xác định theo 
công thức (5.2) 
Ví dụ 5.1: Cho một bản đồng chất có kích thước như hình 5.2 
Hãy xác định trọng tâm của bản? 
Bài giải: 
y
x
C1
C2
C3
2cm6c
m
2c
m
4cm2cm
Hình 5.2. Minh họa cho ví dụ 5.1 
O 
49 
Ta dựng một hệ trục tọa độ Oxy và chia hình trên thành ba phần. Tọa độ trong 
tâm và diện tích của chúng được thể hiện trong bảng: 
Phần x k , cm y k , cm S k , cm 2 
I - 1 1 4 
II 1 4 16 
III 4 7 8 
Diện tích của bản là 1 2 3 4 16 8 28S S S S= + + = + + = cm
2 
Tọa độ trọng tâm của hình: 
1 1 2 2 3 3. . . 1.4 1.16 4.8 11
28 7c
S x S x S xx cm
S
+ + - + +
= = = 
1 1 2 2 3 3. . . 1.4 4.16 7.8 31
28 7c
S y S y S yy cm
S
+ + + +
= = = 
Vậy: C 11 31;
7 7
cm cmæ öç ÷
è ø
 5.1.4.3. Phương pháp bù trừ (vật khuyết) 
Phương pháp này là trường hợp riêng của phương pháp phân chia được sử dụng 
riêng cho vật có lỗ khuyết. 
Ví dụ 5.2: Xác định tọa độ trọng tâm của bản tròn có bán kính R, có lỗ khuyết 
bán kính r (H. 5.3), biết khoảng cách C1C2 = a. 
Bài giải: 
y
x
C2C1C
Hình 5.3. Minh họa cho ví dụ 5.2 
50 
Trọng tâm hình khuyết nằm trên trục đối xứng C1C2. Ta dựng hệ trục C1xy. 
Dùng phương pháp vật khuyết. Lúc này ta xem hình gồm hai phần: 
- Phần I: toàn bộ bản tròn 
- Phần II: lỗ khuyết bán kính r 
Hình x k y k S k 
I 0 0 
II a 0 
2 2
1 1 2 2
2 2 2 2
. . 0 . .
c
S x S x a r a rx
S R r R r
p
p p
+ - -
= = =
- -
0cy = 
Vậy: 
2
2 2 ;0
arC
R r
æ ö
-ç ÷-è ø
 5.1.4.4. Phương pháp thực nghiệm 
Ngoài ba phương pháp đã nêu ở trên, ta có thể sử dụng phương pháp thực 
nghiệm (bằng cách treo, cân) để xác định tọa độ trọng tâm của các vật có hình dạng 
phức tạp. 
Ví dụ 5.3: Người ta muốn xác định tọa độ trọng tâm của chiếc máy bay ta đặt lần 
lượt các bánh xe lên bàn cân nhằm xác định M1, M2 (tức là xác định được phản lực N1, 
N2 như hình 5.4) 
Hình 5.4. Phương pháp thực nghiệm xác định trọng tâm vật rắn 
Ta có phương trình: 12 1
1 2
.. ( ) b Na N b a N a
N N
= - Þ =
+
* Hoặc ta cũng có thể xác định trọng tâm của vật bằng cách dùng dây treo, 
phương của dây là phương của trọng lực, ta treo vài điểm trên vật để tìm điểm giao 
nhau của phương sợi dây của các lần đo, giao điểm đó là trọng tâm của vật. 
2Rp
2rp-
51 
5.2. Cân bằng ổn định 
 5.2.1. Khái niệm 
Xét ba trạng thái cân bằng của vật rắn hình 5.5 với giả thiết bỏ qua ma sát: 
Ở hình 5.5a, ban đầu vật có trọng lượng P
ur
, phản lực N
uur
( P
ur
, N
uur
 cân bằng nhau). 
Khi vật lệch khỏi vị trí cân bằng, phản lực N
uur
 và P
ur
không còn cân bằng nữa do có hợp 
lực ' 0R N P= + ¹
ur uur ur
 đưa vật về vị trí cân bằng ban đầu. Trạng thái cân bằng như thế gọi 
là trạng thái cân bằng ổn định. 
Ngược lại, ở hình 5.5.b, khi vật lệch khỏi vị trí ban đầu, thì hợp lực 
' 0R N P= + ¹
ur uur ur
 đưa vật rời càng xa vị trí ban đầu. Trạng thái cân bằng như vậy gọi là 
trạng thái cân bằng không ổn định. 
Vật thể ở hình 5.5c, dù ở vị trí nào thì P
ur
, N
uur
 cân bằng nhau, gọi là cân bằng 
phiếm định. 
N
N'
P
R
N'
R
P
(a) (b) (c)
P
N
P
P
N
P
N
Hình 5.5. Các trạng thái cân bằng của vật rắn 
Tóm lại, có 3 trạng thái cân bằng: trạng thái cân bằng ổn định, cân bằng không 
ổn định, cân bằng phiếm định. 
Trong nội dung chương này, ta chỉ xét đến trạng thái cân bằng ổn định 
 5.2.2. Điều kiện cân bằng ổn định của vật có một trục quay. 
Nếu vật có trọng tâm C nằm thấp hơn trục quay O (H. 5.6). Khi lệch khỏi vị trí 
cân bằng thì P
ur
, R
ur
tạo ra một ngẫu lực, ngẫu lực này có xu hướng làm vật quay lại vị trí 
ban đầu. 
Ngược lại nếu trọng tâm C nằm cao hơn trục quay O (H. 5.7) thì P
ur
, R
ur
tạo ra một 
ngẫu lực, ngẫu lực này có xu hướng làm vật lệch xa vị trí ban đầu. 
52 
O
C
R
O
C
P
R
P
RP
R
O
C
P
O
C
Hình 5.6. Cân bằng ổn định Hình 5.7. Cân bằng không ổn định 
Nếu vật có trọng tâm C nằm trùng với trục quay O (H. 5.8) thì vật cân bằng ở 
mọi vị trí. 
O C
R
P
R
O C
P
 Hình 5.8. Vật rắn cân bằng ở mọi vị trí. 
 5.2.3. Điều kiện cân bằng ổn định của vật tựa trên mặt phẳng. 
 Xét vật A tựa trên mặt phẳng nằm ngang. Bỏ qua ma sát trượt, khi đó vật A 
chịu tác dụng của lực F làm cho vật A có thể bị lật quanh A như hình vẽ sau: 
A
M g Ml
PQ
ba 
Hình 5.9. Vật A cân bằng ổn định lật 
Điều kiện cân bằng chống lật quanh điểm A là: Mg ≥ Ml 
53 
Hay: g ô 
l 
M
1
Mđ
k = ³ (5.8) 
Trong đó: 
 ô đk là hệ số ổn định; nếu ô 1đk = thì vật ở trạng thái cân bằng giới hạn; thường 
chọn ô 1,5 2đk = - 
g M .Q a= ; l M .P b= . 
Ví dụ 5.4: Cho một bức từng bằng đá, một bên được đắp đất với áp lực p = 
30kN/m đặt cách mép dưới 1/3 chiều cao của tường (H. 5.10). 
Tính chiều dày cần thiết để tường không lật? Biết trọng lượng riêng của đá là 
20kN/m3, kích thước của tường là a x h x l, hệ số ổn định kôđ = 1,5. 
Bài giải: 
- Vật khảo sát: Bức tường đá có kích thước a x h x l = dày x cao x dài (m). 
- Lực đã cho: 
+ Trọng lượng tường đá: Q = 20.a.h.l (kN). 
+ Áp lực đất tác dụng lên tường: P = 30.l (kN). 
- Phản lực liên kết: Áp lực của đất tác dụng lên tường N 
Hệ lực tác dụng lên tường đá: ( ), , 0P Q N ºur ur uur . 
Xét vật khi bị lật quanh A thì: N = 0. 
Q
N
Mg
M l
A
h
p
1/3h
Hình 5.10. Minh họa cho ví dụ 5.4 
- Momen giữ quanh A: 2. 20. . . . 10. . .
2 2g
a aM Q a h l a h l= = = . 
- Momen lật quanh A: . 30. . 10. .
3 3l
h h
M P l h l= = = 
54 
Ta có điều kiện cân bằng: 1,5 1,5god g l
l
M
k M M
M
= = Û = 
lhxlha ..105,1...10 2 =Û 
2 1,5 1,22a a mÛ = Û = 
Vậy: Bề dày cần thiết để tường không lật là 1,22a m= 
Ví dụ 5.5: Cho cần trục đang làm việc có trọng lượng bản thân 2P , chịu tác dụng 
của tải trọng 3P , đối trọng 1P như hình 5.11. 
a) Xác định tải trọng P3 để cần trục có kôđ = 1,5? Biết 1 25 ,P kN= 2 60 .P kN= 
b) Lúc cần trục không làm việc thì cần trục có bị lật hay không? 
Bài giải: 
a) Xác định tải trọng P3 
Cần trục có xu hướng lật quanh B, ta có điều kiện cân bằng: 
g 
ô g ô l 
l 
M
1,5 M .M
Mđ đ
k k= = Þ = (a) 
Với: g 1 2M P (1,25 0,75) P .0,75 25.2 60.0,75 95 .kN m= + + = + = 
 3 3 M P (2 0,75) 1,25.P .l kN m= - = 
Từ (a): g ô 3 3
l 
M 951,5 95 1,5.1,25. 50,7
M 1,5.1,25đ
k P P kN= = Û = Þ = = 
0,75m 0,75m
1,25m 2 m
P1
P2
P3
A B
Hình 5.11. Minh họa cho ví dụ 5.5 
b) Khi cần trục không làm việc (tức là không có 3P ) 
55 
Cần trục có xu hướng lật quanh điểm A. 
Ta có điều kiện cân bằng ổn định: Mg ≥ Ml 
Với: g 2 M P .0,75 60.0,75 45 .kN m= = = 
 1 M P .1,25 25.1,25 37,5 .l kN m= = = 
Ta thấy: Mg = 45kN.m ≥ Ml = 37,5kN.m. 
Vậy: Cần trục cân bằng (không bị lật). 
C. CÂU HỎI ÔN TẬP 
1. Viết và giải thích công thức xác định toạ độ trọng tâm của hệ lực song song và 
trọng tâm của vật rắn? 
2. Trình bày các phương pháp xác định trọng tâm của vật rắn? 
3. Các trạng thái cân bằng của vật rắn? 
4. Điều kiện cân bằng ổn định lật? 
D. BÀI TẬP ÔN TẬP 
Bài tập 1: Cho một bản đồng chất có kích thước như hình 5.12: 
 4m
2m
2m
Hình 5.12. Minh họa cho bài tập 1 
Hãy xác định trọng tâm của bản? 
Bài tập 2: Cho một bản đồng chất bị đục 2 lỗ có bán kính r = 0,25R có như hình 5.13: 
0,
75
R
0,75RR
Hình 5.13. Minh họa cho bài tập 2 
Hãy xác định trọng tâm của bản? 
56 
Bài tập 3: Cho một bức từng bằng đá, một bên được đắp đất với áp lực p = 
20kN/m đặt cách mép dưới 1/3 chiều cao của tường (H. 5.14). 
Biết chiều dày của tường là a=1,2m, trọng lượng riêng của đá là 20kN/m3, kích 
thước của tường là a x h x l, hệ số ổn định kôđ = 1,5. 
Hỏi tường có bị lật quanh A không? 
Q
A
h
p
1/3h
Hình 5.14. Minh họa cho bài tập 3