Bài giảng Cơ lý thuyết 1

1 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG 
KHOA KỸ THUẬT - CÔNG NGHỆ 
******* 
ThS. NGUYỄN QUỐC BẢO 
KS. HỒ NGỌC VĂN CHÍ 
BÀI GIẢNG 
CƠ LÝ THUYẾT 1 
Quảng Ngãi, 05/2017 
2 
MỤC LỤC 
LỜI NÓI ĐẦU ............................. 4 
PHẦN I. TĨNH HỌC 
Chƣơng 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ÐỀ TĨNH HỌC 
1.1. Các khái niệm cơ bản ......... . ... . 5 
1.2. Hệ tiên đề tĩnh học ................. 9 
1.3. Liên kết và tiên đề giải phóng liên kết ..................... 12 
1.4. Momen của lực ......... 16 
1.5. Bài toán xác định hệ lực ....................... 20 
Câu hỏi ôn tập.................23 
Chƣơng 2. HỆ LỰC 
2.1. Hai đại lượng đặc trưng cơ bản của hệ lực....... 24 
2.2. Thu gọn hệ lực không gian bất kỳ ................... 26 
2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực không gian .............. 30 
2.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng ................... 31 
2.5. Bài toán cân bằng tĩnh học ................... 32 
Câu hỏi ôn tập............. 37 
Chƣơng 3. CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC 
3.1. Bài toán đòn và bài toán vật lật .................... 38 
3.2. Bài toán ma sát ..................... 41 
3.3. Bài toán trọng tâm ............ 47 
Câu hỏi ôn tập ........ 51 
PHẦN II. ĐỘNG HỌC 
Chƣơng 4. ÐỘNG HỌC CHẤT ÐIỂM 
4.1. Các khái niệm động học .................................. 53 
4.2. Các phương pháp khảo sát chuyển động của chất điểm .......... 54 
4.3. Bài toán động học của chất điểm ................. 62 
Câu hỏi ôn tập......... 67 
3 
Chƣơng 5. CHUYỂN ÐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN 
5.1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn .................... 68 
5.2. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định ............... 69 
5.3. Bài toán chuyển động cơ bản của vật rắn ................. 76 
Câu hỏi ôn tập......... 79 
Chƣơng 6. CHUYỂN ÐỘNG PHỨC HỢP CỦA CHẤT ÐIỂM 
6.1. Chuyển động phức hợp của chất điểm ..................... 80 
6.2. Các định lý hợp vận tốc và gia tốc của chất điểm ............ 82 
6.3. Bài toán chuyển động tổng hợp ............ 85 
Câu hỏi ôn tập............. 97 
Chƣơng 7. CHUYỂN ÐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN 
7.1. Định nghĩa và mô hình khảo sát ............... 98 
7.2. Khảo sát chuyển động của hình phẳng ............................. 99 
7.3. Khảo sát chuyển động của điểm thuộc vật (hình phẳng) ... 101 
7.4. Bài toán chuyển động song phẳng ......... 107 
Câu hỏi ôn tập........116 
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......... 117 
4 
LỜI NÓI ĐẦU 
Cơ lý thuyết là môn khoa học cơ sở nghiên cứu chuyển động cơ học của vật rắn 
và các quy luật tổng quát của chuyển động đó. Do vậy, nhiệm vụ Cơ lý thuyết là: 
nghiên cứu các quy luật tổng quát của chuyển động và cân bằng của các vật thể dưới 
tác dụng của lực đặt lên chúng. Hay nói cách khác, Cơ lý thuyết là khoa học về sự cân 
bằng và chuyển động của vật thể. 
Bài giảng Cơ lý thuyết 1 được biên soạn nhằm đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học 
tập và nghiên cứu cho sinh viên bậc đại học ngành cơ khí tại Trường Đại học Phạm 
Văn Đồng. 
Nội dung bài giảng Cơ lý thuyết 1 gồm có hai phần, trong mỗi phần được chia 
làm nhiều chương. 
- Phần I: Tĩnh học (gồm 3 chương) 
- Phần II: Động học (gồm 4 chương) 
Bài giảng được biên soạn để giảng dạy với thời lượng là 45 tiết (3 tín chỉ). Do đó 
nội dung bài giảng được biên soạn theo cách trình bày ngắn gọn, dễ hiểu và đảm bảo 
tính logic của kiến thức. Bài giảng được biên soạn cho đối tượng là sinh viên bậc đại 
học, tuy nhiên cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên bậc cao đẳng. 
Mặc dù nhóm biên soạn cũng đã rất cố gắng để đáp ứng cho công tác dạy và học, 
nhưng chắc chắn sẽ không tránh khỏi các khiếm khuyết. Rất mong được sự đóng góp 
các ý kiến quý báu để cho bài giảng ngày được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm 
ơn! 
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi vể địa chỉ email: baoqng2006@gmail.com hoặc 
chixddd09@gmail.com. 
 Quảng Ngãi, tháng 5/2017 
 Nhóm biên soạn 
5 
PHẦN I. TĨNH HỌC 
Tĩnh học vật rắn khảo sát sự cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của một hệ lực 
đã cho. 
Tĩnh học giải quyết hai vấn đề chính trong tĩnh học là: 
+ Thu gọn hệ lực. 
+ Điều kiện cân bằng của hệ lực. 
Về phương pháp nghiên cứu: áp dụng phương pháp tiên đề kết hợp phương pháp 
mô hình. 
Về ứng dụng: giải thích các hiện tượng thực tế, đồng thời làm cơ sở để học môn 
học Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu. 
Chƣơng 1. 
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 
A. MỤC TIÊU 
- Hiểu được các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề tĩnh học làm cơ sở để giải các 
bài toán tĩnh học. 
- Nắm vững các phản lực liên kết và biểu diễn chúng tại các liên kết. 
B. NỘI DUNG 
1.1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 
 1.1.1. Vật rắn tuyệt đối 
Vật rắn tuyệt đối là vật mà khoảng cách giữa hai điểm bất kì của vật luôn luôn 
không đổi (hay nói cách khác dạng hình học của vật được giữ nguyên) dưới tác dụng 
của các vật khác. 
Trong thực tế các vật rắn khi tương tác với vật thể khác đều có biến dạng. Nhưng 
biến dạng đó rất bé, nên ta có thể bỏ qua được khi nghiên cứu điều kiện cân bằng của 
chúng. 
Ví dụ: Khi dưới tác dụng của trọng lực P dầm AB phải võng xuống (hình 1.1a), 
thanh CD phải dài ra (hình 1.1b). Nhưng độ võng của dầm và độ võng của thanh rất 
bé, ta có thể bỏ qua. Khi giải bài toán tĩnh học ta coi như dầm không võng và thanh 
không dãn mà kết quả vẫn đảm bảo chính xác và bài toán đơn giản hơn. 
6 
A B
PP
C
D
 a) b) 
Hình 1.1 
 Trong trường hợp ta coi vật rắn là vật rắn tuyệt đối mà bài toán không giải được, 
lúc đó ta cần phải kể thêm biến dạng của vật. Bài toán này sẽ được nghiên cứu trong 
học phần Sức bền vật liệu. 
 Để đơn giản, ta coi vật rắn là vật rắn tuyệt đối. Đó là đối tượng để chúng ta 
nghiên cứu trong môn học này. 
 1.1.2. Lực 
Lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng tương hổ cơ học của vật này với vật 
khác mà kết quả làm thay đổi chuyển động hoặc biến dạng của các vật. 
Lực được xác định bởi ba yếu tố: 
+ Điểm đặt lực 
+ Phương, chiều của lực 
+ Cường độ hay trị số của lực 
Đơn vị đo cường độ của lực trong hệ SI là Newton (kí hiệu N). 
Ví dụ: Lực F biểu diễn bằng véctơ lực AB (hình 1.2) 
Phương chiều của véctơ AB biểu diễn phương chiều của lực ,F
độ dài của vectơ 
AB theo tỉ lệ đã chọn biểu diễn trị số của lực, gốc vectơ biểu diễn điểm đặt của lực, 
giá của vectơ biểu diễn phương tác dụng của lực. 
A
B
F
Hình 1.2 
7 
 1.1.3. Lực tập trung và lực phân bố 
 1.1.3.1. Lực tập trung 
Lực tập trung là lực đặt tại một điểm nào đó trên vật rắn. 
 1.1.3.2. Lực phân bố 
Lực phân bố là lực được đặt trên một phần nào đó của vật rắn như một đoạn 
thẳng, một bề mặt hay một thể tích. 
* Chú ý: Trong bài toán cân bằng của vật thể, người ta thay lực phân bố bằng 
một lực tập trung. Một số trường hợp thường gặp như: 
+ Lực phân bố đều trên một đoạn thẳng AB với cường độ q (N/m) (hình 1.3): 
a
a/2
A B
a/2
Qq
 Hình 1.3 
Hệ lực phân bố đều có thể được thay thế bằng lực Q đặt tại trung điểm của AB 
có độ lớn Q = qa (cường độ của Q là diện tích hình chữ nhật có cạnh a và q). 
+ Lực phân bố tam giác trên một đoạn thẳng AB (phân bố tuyến tính) với 
cường độ q biến thiên từ 0 đến qmax (N/m) (hình 1.4): 
a
a/3
A B
2a/3
Q
q
max
C
Hình 1.4 
Hệ lực phân bố đều có thể được thay thế bằng lực Q
đặt tại trọng tâm của tam 
giác ABC. Cường độ Q = ax
1
.
2
ma q ( Cường độ Q chính là diện tích của tam giác ABC). 
8 
 1.1.4. Trạng thái cân bằng của vật 
Một vật rắn ở trạng thái cân bằng là vật đó nằm yên hay chuyển động đều đối với 
vật khác “làm mốc” một hệ trục tọa độ nào đó mà cùng với nó tạo thành hệ quy chiếu. 
Ví dụ như hệ tọa độ Descartes Oxyz chẳng hạn. 
Trong tĩnh học, ta xem vật cân bằng là vật nằm yên so với trái đất. 
 1.1.5. Một số định nghĩa khác 
 1.1.5.1. Hệ lực 
Hệ lực là tập hợp các lực tác dụng lên một chất điểm, một vật hay một hệ vật. 
Kí hiệu: ( 1,F 2 ,F 3......F )nF hoặc: kF với k = 1, 2, ..., n. 
 1.1.5.2. Hệ lực tương đương 
Hai hệ lực tương đương nhau khi chúng có cùng tác dụng cơ học. 
Kí hiệu: ( 1,F 2 ,F 3,...,F )mF  ( 1
,P 2 ,P 3,...,P )nP hoặc: ( 1,F 2 ,F 3,...,F )mF 
( 1,P 2 ,P 3,...,P )nP . 
* Chú ý: Nếu hai hệ lực tương đương có thể thay thế được cho nhau. Để khảo sát 
một hệ lực phức tạp người ta thường biến đổi tương đương về một hệ lực đơn giản hơn 
gọi là dạng tối giản. 
 1.1.5.3. Hệ lực cân bằng 
Hệ lực cân bằng là hệ lực mà dưới tác dụng của nó, vật rắn tự do ở trạng thái cân 
bằng. 
Kí hiệu: 0kF  
 1.1.5.4. Hợp lực 
Hợp lực là một lực tương đương với hệ lực 
Kí hiệu: R
 kF ; R là hợp lực của kF . 
 1.1.5.5. Ngẫu lực 
Ngẫu lực là một hệ lực gồm hai lực song song, ngược chiều, cùng cường độ và 
không cùng đường tác dụng (hình 1.5). 
Kí hiệu: ngẫu lực ( , ')F F hoặc: nl m . 
Các yếu tố đặc trưng của ngẫu lực: 
9 
+ Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực: là mặt phẳng chứa hai lực thành phần 
của ngẫu lực. 
+ Chiều của ngẫu lực: là chiều quay của các lực khi nhìn vào mặt phẳng tác 
dụng; ngẫu lực có chiều dương "+" khi lực quay ngược kim đồng hồ và chiều âm "-" 
thì ngược lại. 
+ Trị số momen của ngẫu lực: m = F.d = F’.d. 
Trong đó: d là khoảng cách giữa hai lực thành phần gọi là cánh tay đòn của ngẫu 
lực. 
Đơn vị của của ngẫu lực là: Nm. 
F
F'
d
M
A
m
m
Hình 1.5 
* Chú ý: Ngẫu lực còn có thể biểu diễn bằng vectơ momen của ngẫu lực: 
m r F  
1.2. HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 
Trên cơ sở thực nghiệm và nhận xét thực tế, người ta đã đi đến phát biểu thành 
mệnh đề có tính chất hiển nhiên không cần chứng minh làm cơ sở cho môn học gọi là 
tiên đề. 
 1.2.1. Tiên đề 1 (Hai lực cân bằng) 
Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một vật rắn cân bằng là chúng có 
cùng phương tác dụng, ngược chiều nhau và cùng trị số. 
Trên hình 1.6, vật rắn chịu tác dụng bởi hai lực 1F và 2F cân bằng. 
Kí hiệu : ( 1,F 2 )F  0 (1.3) 
A
B
F
2
F
1
Hình 1.6 
10 
Biểu thức trên là điều kiện cân bằng đơn giản cho một hệ lực gồm có hai lực. 
 1.2.2. Tiên đề 2 (Thêm hoặc bớt một hệ cân bằng) 
Tác dụng của một hệ lực tác dụng lên một vật rắn không thay đổi nếu ta thêm vào 
hay bớt đi hai lực cân bằng nhau. 
Theo tiên đề này, hai hệ lực chỉ khác nhau một hệ lực cân bằng thì chúng hoàn 
toàn tương đương nhau. 
Từ hai tiên đề trên ta có hệ quả: 
* Hệ quả trượt lực: Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi khi 
ta dời điểm đặt lực trên phương tác dụng của nó. 
Chứng minh: Giả sử ta có lực F tác dụng lên vật rắn đặt tại điểm A (hình 1.7). 
Trên phương tác dụng của lực F ta lấy một điểm B và đặt vào đó hai lực 1F và 2F cân 
bằng nhau, với 1 2F F F . 
A
B
F
1
F
2
F
Hình 1.7 
Theo tiên đề 2 thì: F  ( 1,F 2 ,F )F 
Nhưng theo tiên đề 1 thì ta cũng có: ( ,F 2 )F  0, do đó ta có thể bỏ đi. Như vậy 
ta có: 
F  ( 1,F 2 ,F )F  1F 
Điều đó chứng tỏ lực đã trượt từ A đến B mà tác dụng của lực không đổi. 
* Chú ý: Hai tiên đề trên và hệ quả chỉ đúng cho vật rắn cứng tuyệt đối. Còn đối 
với vật rắn biến dạng thì các tiên đề và hệ quả không còn đúng nữa. 
 1.2.3. Tiên đề 3 (Hợp lực hình bình hành) 
Hai lực tác dụng tại một điểm tương đương với một lực tác dụng tại điểm đó và 
có véctơ lực bằng vectơ chéo của hình bình hành có hai cạnh là hai vectơ lực của các 
lực đã cho (hình 1.8) 
11 
O
B
F C
A
R
F
1
2
Hình 1.8 
Về phương diện véctơ ta có: 1R F 2F 
Nghĩa là véctơ R bằng tổng hình học của các véctơ 1,F 2F . 
Tứ giác OABC gọi là hình bình hành lực. 
Về trị số: 2 21 2 1 22 cosR F F F F 
(trong đó α là góc hợp bởi hai véctơ 1,F 2F ) 
 1.2.4. Tiên đề 4 (Tác dụng và phản tác dụng) 
Ứng với mỗi lực tác dụng của vật này lên vật khác, bao giờ cũng có phản lực tác 
dụng cùng trị số, cùng phương tác dụng, nhưng ngược chiều nhau. 
Giả sử một vật B tác dụng lên vật A một lực F thì ngược lại vật A tác dụng lên 
vật B một lực 'F F . Hai lực này có trị số bằng nhau, ngược chiều nhau, nhưng 
không cân bằng vì chúng đặt lên hai vật khác nhau (hình 1.9). 
F
B
F'
A
Hình 1.9 
 1.2.5. Tiên đề 5 (Hóa rắn) 
Vật bị biến dạng cân bằng thì khi hóa rắn lại nó vẫn cân bằng dưới tác dụng của 
hệ lực đã cho. 
Tiên đề này dùng để khảo sát vật thực bằng kết quả của khảo sát vật rắn tuyệt 
đối. 
12 
1.3. LIÊN KẾT VÀ TIÊN ĐỀ GIẢI PHÓNG LIÊN KẾT 
 1.3.1. Các khái niệm về liên kết 
Vật rắn không tự do được ngăn cản sự dịch chuyển bằng các vật khác. Vật rắn 
không tự do gọi là vật bị liên kết, vật ngăn cản gọi là vật gây liên kết. 
Liên kết là những điều kiện cản trở chuyển động của vật. 
Lực liên kết là lực tác dụng qua lại giữa các vật không tự do. Lực liên kết do vật 
gây liên kết tác dụng lên vật khảo sát và cản trở chuyển động được gọi là phản lực liên 
kết, còn lực do vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết gọi là áp lực. 
Các lực không phải là phản lực liên kết gọi là các lực hoạt động. 
Ví dụ: Cho viên bi đặt trên mặt bàn (hình 1.10) 
Hình 1.10 
Viên bi là vật khảo sát, viên bi là vật chịu liên kết, mặt bàn là vật gây liên kết 
P: áp lực; N: phản lực liên kết. 
 1.3.2. Các liên kết thƣờng gặp 
 1.3.2.1. Liên kết tựa 
Liên kết tựa là liên kết hình thành khi vật tựa lên bề mặt của vật khác. Vật này 
tựa lên vật khác theo điểm, đường hoặc bề mặt (hình 1.11). 
N
B
A
B
N
A
A
B
N
A
N
B
 a) b) 
Hình 1.11 
Giả thiết: không ma sát. 
Phản lực: phản lực pháp N 
13 
Đặc điểm: 
+ Phương: vuông góc mặt tựa (đường tựa) hoặc phương chuyển động. 
+ Chiều: hướng vào vật khảo sát (cản trở chuyển đông của vật) 
+ Điểm đặt: tại điểm tiếp xúc. 
 1.3.2.2. Liên kết bản lề 
a) Bản lề trụ 
Liên kết bản lề trụ là liên kết chỉ cho phép vật quay quanh một trục cố định trong 
không gian. 
Hai vật có liên kết bản lề khi chúng có trục (chốt) chung, có thể quay đối với 
nhau. 
Phản lực là R
(hình 1.12) có đặc điểm: 
+ Phương và chiều: đi qua tâm trục O và chưa được xác định. 
+ Trị số: chưa xác định và phản lực được chia làm hai thành phần vuông góc 
nhau ,X Y theo hai trục tọa độ. 
+ Điểm đặt: đặt tại điểm tiếp xúc. 
x
y
X
A
Y
A
R
A
A x
y
X
A
Y
A
R
A
A 
 a) b) 
Hình 1.12 
b) Bản lề cầu 
Liên kết bản lề cầu là liên kết chỉ cho phép vật quay quanh một điểm cố định 
trong không gian. 
Bản lề cầu được hình thành nhờ một quả cầu gắn vào đầu vật gây liên kết (hình 
1.13) 
14 
 a) b) 
Hình 1.13 
Phản lực R có đặc điểm: 
+ Điểm đặt: tại tâm O của vỏ cầu 
+ Phương và chiều: chưa xác định. Phản lực được chia làm ba thành phần 
, ,X Y Z theo ba trục tọa độ. 
* Chú ý: 
1) Phương và chiều của các phản lực liên kết bản lề chưa xác định. Để tính toán 
ta giả định cho nó một chiều nào đó, nếu kết quả phản lực liên kết mang dấu dương 
"+" thì chiều giả định là đúng, nếu kết quả mang dấu âm "-" thì chiều thực ngược 
chiều giả định. 
2) Trong kỹ thuật có các mô hình liên kết gối đỡ dung để đỡ các dầm, khung. Có 
hai dạng: 
- Dạng 1: Gối đỡ di động (gối con lăn) 
Có phản lực liên kết được xác định như liên kết tựa có một thành phần (hình 
1.14a) 
a) b) 
Hình 1.14 
15 
- Dạng 2: Gối đỡ cố định 
Có phản lực liên kết được xác định như liên kết trụ có hai thành phần (hình 
1.14b). 
 1.3.2.3. Liên kết dây mềm 
Giả thiết: dây mềm, thẳng không giãn bị kéo căng (hình 1.15). 
Phản lực là sức căng dây T có các đặc điểm: 
+ Phươ ... a điểm 
B đối với cực A là vận tốc tương đối BA rv v . 
Với BAv có: + Phương: vuông góc AB. 
 + Chiều: cùng chiều với ω 
 + Trị số: v .BA AB 
Chuyển động kéo theo là chuyển động tịnh tiến cùng với cực A nên e Av v 
Theo định lý hợp vận tốc ta có: 
 a r ev v v hay B BA Av v v (7.2) 
102 
 7.3.1.2. Định lý hình chiếu vận tốc 
Định lý: Hình chiếu vận tốc của hai điểm A, B thuộc hình phẳng lên phương nối 
hai điểm đó thì bằng nhau. 
 AB B AB Ahc v hc v (7.3) 
Chứng minh: 
A
B
v
A
v
BA
v
A
v
B
 Hình 7.5 
Vận tốc của hai điểm A, B bất kỳ thuộc hình phẳng là ,A Bv v , 
Gọi α, β lần lượt là góc hợp bởi vận tốc ,A Bv v với phương AB (hình 7.5) 
Theo công thức (7.2) ta có: 
B BA Av v v 
Chiếu đẳng thức trên lên phương AB ta được: 
( ) ( ) ( )AB B AB A AB BAhc v hc v hc v 
Mà hình chiếu của BAv lên AB là bằng không, nghĩa là ( ) 0AB BAhc v 
.cos .cosB Av v 
 7.3.1.3. Tâm vận tốc tức thời 
Định nghĩa: Tâm vận tốc tức thời là một điểm P nào đó thuộc mặt phẳng của 
hình phẳng (S) mà thời điểm khảo sát vận tốc bằng không. 
Chứng minh sự tồn tại của tâm vận tốc tức thời: 
 Xét tại thời điểm t, vận tốc của cực A là Av , quay phương đường thẳng chứa 
Av một góc 90
0
 ta có phương Ax (hình 7.6). Trên Ax ta lấy điểm P sao cho 
Av
AP

 , 
khi đó ta có PA Av v nên: ( ) 0P A PA A Av v v v v (7.4) 
103 
Biểu thức (7.4) chứng tỏ rằng luôn tồn tại duy nhất một tâm vận tốc tức thời P tại 
mỗi thời điểm khảo sát. 
Vậy: Vật rắn chuyển động song phẳng thực chất có thể coi như quay liên tục 
quanh những tâm tức thời khác nhau. 
v
A
A
v
PA
P
x 
Hình 7.6 
* Chú ý: Trường hợp 0  tại thời điểm khảo sát, thì P , nghĩa là hình 
phẳng chuyển động tịnh tiến tức thời. 
 7.3.1.4. Phân bố vận tốc của điểm thuộc hình phẳng 
Từ kết luận trên, việc xác định vận tốc của điểm thuộc vật chuyển động song 
phẳng hoàn toàn giống như vận tốc của điểm thuộc vật rắn quay quanh một trục cố 
định. 
Xét hai điểm M, N thuộc vật rắn chuyển động song phẳng có tâm vận tốc tức thời 
P (hình 7.7). 
v
M
M
v
N
P
N
Hình 7.7 
Với: 
M P MP
N P NP
v v v
v v v
 nhưng: 0Pv nên: 
M MP
N NP
v v
v v
104 
Mà: 
M
M
v MP
v MP
  
 
 nên: 
.
.
M MP
N NP
v v MP
v v NP


M Nv v
MP NP
 
Vậy: Vận tốc của của điểm trên hình phẳng chuyển động song phẳng tỉ lệ với 
khoảng cách từ điểm đó đến tâm vận tốc tức thời P. 
 7.3.1.5. Phương pháp thực hành xác định tâm vận tốc tức thời 
Phương pháp tìm tâm vận tốc tức thời P dựa trên tính chất cơ bản là tâm vận tốc 
tức thời P phải nằm trên đường thẳng vuông góc với phương vận tốc của điểm thuộc 
hình phẳng và giá trị của vận tốc tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến tâm vận tốc tức 
thời. 
Ta có bốn trường hợp cơ bản sau: 
a) Trường hợp 1: Biết phương vận tốc của hai điểm bất kỳ A và B. 
Tâm vận tốc tức thời P là giao điểm của đường thẳng vẽ từ các điểm đó và vuông 
góc với phương các vận tốc (hình 7.8). 
v
A
A
v
B
P
Hình 7.8 
 b) Trường hợp 2: Biết vận tốc hai điểm A, B bất kỳ và vận tốc các điểm vuông 
góc với đường thẳng AB. 
v
A
v
B
A
B
P
v
A
A
v
B
P
B
Hình 7.9 
105 
Tâm vận tốc tức thời được xác định dựa vào tính chất tỉ lệ: đường thẳng nối đầu 
mút hai vận tốc sẽ cắt đường thẳng AB tại P (hình 7.9). 
c) Trường hợp 3: Biết vận tốc hai điểm A, B bất kỳ mà A Bv v 
Tâm vận tốc tức thời ở vô cùng, lúc đó hình phẳng chuyển động tịnh tiến tức thời 
(ω = 0). Tại thời điểm đang xét, mọi điểm thuộc hình phẳng có vận tốc như nhau (hình 
7.10). 
v
A
v
B
P
0
v
A
v
B
P
0 
Hình 7.10 
d) Trường hợp 4: Bánh xe lăn không trượt trên mặt tựa. 
Bánh xe lăn không trượt thì tâm vận tốc tức thời là điểm tiếp xúc của vật với mặt 
tựa (hình 7.11). 
P
P
(a) (b) 
Hình 7.11 
 7.3.2. Gia tốc của điểm thuộc vật 
 7.3.2.1. Định lý quan hệ gia tốc giữa hai điểm thuộc vật 
Định lý: Gia tốc của một điểm B thuộc hình phẳng bằng tổng hình học của gia 
tốc cực A và gia tốc của B khi hình phẳng quay quanh cực A (hình 7.12). 
w w wB A BA 
w w w wnB A BA BA
 (7.5) 
106 
A
B
w
A
w
BA
w
A
w
B
w
B
w
B
n
Hình 7.12 
Chứng minh: Xét hai điểm A, B bất kỳ thuộc hình phẳng (S) chuyển động song 
phẳng, giả sử ta chọn A làm cực có gia tốc Aw , lúc này điểm B đồng thời thực hiện hai 
chuyển động thành phần (hình 7.12): 
+ Chuyển động tịnh tiến cùng với điểm A (gắn với hệ động Axy). 
+ Chuyển động quay quanh cực A với vận tốc góc ω, gia tốc góc ε. 
Theo định lý hợp gia tốc (ở chương 6) ta có: a r e cw w w w 
Trong đó: 
a Bw w gia tốc của điểm B. 
e Aw w gia tốc của cực A (cực A với với hệ động Axy chuyển động tịnh tiến) 
r BAw w gia tốc của điểm B trong chuyển động tương đối của hình phẳng (S) 
quay quanh cực A. 
0cw vì hệ động Axy chuyển động tịnh tiến. 
Do đó: 
n
a r e c B BA A BA BA Aw w w w w w w w w w
 
Với: 
wBA
 có: + Phương: AB. 
 + Chiều: cùng chiều với ε 
 + Trị số: w .BA AB
  
wnBA có: + Phương: AB. 
 + Chiều: từ B đến A 
 + Trị số: 2w .nBA AB 
107 
7.4. BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG 
 7.4.1. Các dạng bài toán 
Trong chuyển động song phẳng có hai dạng bài toán cơ bản: 
- Bài toán tìm vận tốc: Biết vận tốc của một điểm thuộc vật tại một thời điểm 
đang xét. Tìm vận tốc của các điểm khác thuộc vật, vận tốc góc của vật tại thời điểm 
đó. 
- Bài toán tìm gia tốc: Biết gia tốc của một điểm thuộc vật tại một thời điểm đang 
xét. Tìm gia tốc của các điểm khác thuộc vật, gia tốc góc của vật tại thời điểm đó. 
 7.4.2. Phƣơng pháp giải 
a) Bài toán tìm vận tốc 
Có hai cách: 
- Tìm tâm vận tốc tức thời P. 
- Áp dụng định lý quan hệ vận tốc hoặc định lý về hình chiếu vận tốc. 
b) Bài toán tìm gia tốc 
Có hai cách: 
- Tìm tâm gia tốc tức thời Q. 
- Áp dụng định lý quan hệ gia tốc gồm các bước sau: 
+ Chọn một điểm thuộc vật đã biết gia tốc làm cực. 
+ Viết biểu thức quan hệ gia tốc đối với điểm chọn làm cực. 
+ Vẽ và tính các vectơ gia tốc (giả thiết chiều của vectơ gia tốc nếu chưa biết). 
+ Giải phương trình vectơ (có thể dùng phương pháp chiếu biểu thức vectơ lên 
một trục thích hợp). 
* Chú ý: 
1) Cực O được chọn tuỳ ý, nên trong bài toán cụ thể cần chọn cực sao cho các 
đặc trưng chuyển động đã biết hoặc xác định một cách đơn giản. 
2) Chuyển động tịnh tiến tức thời xảy ra (khi hình phẳng có 0  ), thì v của các 
điểm bằng nhau nhưng w của chúng khác nhau 0  . 
3) Khi xác định vận tốc, chỉ được xem (S) quay quanh tâm P và khi xác định gia 
tốc chỉ được xem (S) quay quanh tâm Q. 
4) Để giải bài toán gia tốc, thường dùng định lý quan hệ gia tốc hai điểm chứ ít 
dùng tâm Q. 
108 
5) Nếu vận tốc góc của hình phẳng t  thì 
d
dt

 . 
Đặc biệt, khi đĩa tròn bán kính R lăn không trượt trên đường cố định, tâm đĩa có 
vận tốc là 
ov thì: 
1 1
wo o o
v dvd d
dt dt R R dt R


 7.4.3. Các ví dụ 
Ví dụ 7.1: Cho cơ cấu hai con trượt (hình 7.13). Biết rằng con trượt A trượt trên 
phương y với vận tốc vA = 20cm/s, con trượt B trượt trên phương x. Cho AB = 40cm, 
α = 600. 
Tìm vận tốc của điểm B và vận tốc góc của thanh AB? 
Giải: 
y
xO
A
B
v
A
v
B
P
AB
 Hình 7.13 
- Xét cơ cấu hai con trượt: 
+ Con trượt A, B chuyển động tịnh tiến. 
+ Thanh AB chuyển động song phẳng. 
- Tìm vận tốc của điểm B và vận tốc góc của thanh AB: 
Tâm vận tốc tức thời P được xác định bằng phương pháp thực hành (hình 7.13) 
Ta có: 
A B
AB
v v
AP BP
 (a) 
Với: AP = AB. cosα = 40.cos600 = 20cm 
 BP = AB. sinα = 40.sin600 = 
3
40. 20 3
2
 cm 
109 
Từ (a) 
. 20.20 3
20 3
20
A
B
v BP
v
AP
 cm/s 
20
1 /
20
A
AB
v
rad s
AP
 
Vậy: 20 3Bv cm/s; 1 /AB rad s 
Ví dụ 7.2. Một bánh xe lăn không trượt trên một đường ray thẳng có bán kính r = 
0,5m (hình 7.14). Ở thời điểm khảo sát, vận tốc của tâm O là vo = 2m/s và gia tốc wo = 
2m/s
2. Hãy xác định: 
a) Vận tốc góc của bánh xe và vận tốc của các điểm M1, M2, M3, M4? 
b) Gia tốc góc của bánh xe và gia tốc của các điểm M1, M2, M3, M4? 
M
2
M
3
M
4
M
1
v
OO
0
Hình 7.14 
Giải: 
a) Vận tốc góc của bánh xe ωbx và vận tốc của M1, M2, M3, M4. 
Bánh xe lăn không trượt nghĩa là bánh xe đang chuyển động song phẳng 
Tâm vận tốc tức thời P là vị trí tiếp xúc của bánh xe với mặt đường ray (hình 
7.15). 
M
2
M
3
M
4
M
1
P
v
2
v
4
v
3
v
OO
0
Hình 7.15 
110 
Vận tốc góc của bánh xe: 
0 2 4 /
0.5
bx
v
rad s
r
 
Vận tốc của điểm M1 là: 1 1 . 0 /pv M P v m s 
Vận tốc của điểm M2 là: 2 2 . 2. 0.5 2.4 2 2 /v M P r m s  
Vận tốc của điểm M3 là: 3 3 . 2. . 2.0,5.4 4 /v M P r m s  
Vận tốc của điểm M4 là: 4 4 . 2. 0,5 2.4 2 2 /v M P r m s  
b) Gia tốc góc của bánh xe và gia tốc của M1, M2, M3, M4. 
M
2
M
3
M
4
M
1
w
O
O
0
w
M O
n
w
w
n
w
w
n
w
2
M O
2
M O
1
M O
1
M O
3
M O
3
w
M O
n
4
w
M O
4
Hình 7.16 
Ta có gia tốc góc của bánh xe được xác định bởi công thức: 
20
0
1 1 3
6 /
0,5
o
bx
v
d
d dvr
w rad s
dt dt r dt r


Áp dụng định lý hợp gia tốc ta có: 
n
M O MO O MO MOw w w w w w
 
Với: 2. 0,5.6 3 /MOw r m s
  
 2 2 2. 0,5.4 8 /nMOw r m s 
 23 /Ow m s 
- Gia tốc tại M1: 
111 
1 1
2 2 2 2 2
1 0( ) ( ) (3 3) 8 8 /
n
M O M Ow w w w m s
 
- Gia tốc tại M2: 
2 2
2 2 2 2 2
2 0( ) ( ) (3 8) 3 130 /
n
M O M Ow w w w m s
 
- Gia tốc tại M3: 
3 3
2 2 2 2 2
3 0( ) ( ) (3 3) 8 10 /
n
M O M Ow w w w m s
 
- Gia tốc tại M4: 
4 4
2 2 2 2 2
4 0( ) ( ) (3 8) 3 34 /
n
M O M Ow w w w m s
 
Vậy: a) 4 / ;bx rad s 1 0 / ;v m s 2 2 2 / ;v m s 3 4 / ;v m s 4 2 2 / .v m s 
 b) 26 / ;bx rad s 
2
1 8 / ;w m s 
2
2 130 / ;w m s 
2
3 10 / ;w m s 
2
4 34 / .w m s 
Ví dụ 7.3: Cho cơ cấu tay quay - con trượt (hình 7.17). Tay quay OA = 20cm 
quay quanh O theo quy luật φ = 10t (t tính bằng giây) làm cho con chạy B chuyển 
động theo đường thẳng đứng nhờ thanh AB = 100cm. 
Tìm vận tốc và gia tốc của điểm B, vận tốc góc và gia tốc góc của thanh AB tại 
thời điểm tay quay OA AB và hợp với phương ngang góc α = 450. 
B
O
A
Hình 7.17 
Giải: 
- Khảo sát cơ hệ: 
+ Tay quay OA chuyển động quay quanh O 
+ Con trượt B chuyển động tịnh tiến theo phương thẳng đứng 
112 
+ Thanh AB chuyển động song phẳng. 
* Xác định vận tốc của điểm B, vận tốc góc của thanh AB: 
- Xét tay quay OA chuyển động quay quanh O, ta có: 
10 /OA rad s và 
20 /OA rad s 
Av có: + Phương: AB 
 + Chiều: từ A đến B (hình 7.18a) 
 + Trị số: . 20.10 200 /Av OA cm s 
- Xác định tâm vận tốc tức thời P (sử dụng phương pháp thực hành). 
B
v
B
O
AB
P
A
v
A
B
O
A
w
B
w
BA
w
BA
n
w
A
n
AB
AB
OA
y
x
a) b) 
Hình 7.18 
Từ A và B kẻ hai đường thẳng lần lượt vuông góc với Av và ,Bv giao điểm P của 
hai đường thẳng là tâm vận tốc tức thời (hình 7.18a) 
Khi đó, ta có: A BAB
v v
AP BP
 (a) 
Với: 
0. tan 100. tan45 100AP AB cm 
 0
100
100 2
sin sin 45
AB
BP cm
Từ (a) 
200
2 /
100
AB rad s 
113 
. 200.100 2
200 2 /
100
A
B
v BP
v cm s
AP
* Xác định gia tốc của điểm B, gia tốc góc của thanh AB 
- Ta chọn A làm cực, giả thiết chiều ,B ABw  (hình 7.18b) 
- Gia tốc của điểm B được xác định bởi biểu thức: 
n n
B A BA A A BA BAw w w w w w w
  (b) 
Trong đó: 
0Aw
 (vì 0 . 0OA A OAw OA
  ) 
n
Aw có: + Phương: OA 
 + Chiều: từ A đến O (hình 7.18b) 
 + Trị số: 
2 2 2. 10 .20 2000 /nA OAw OA cm s 
BAw
 có: + Phương: vuông góc AB. 
 + Chiều: cùng chiều AB (hình 7.18b) 
 + Trị số: .BA ABw AB
  
n
BAw có: + Phương: AB 
 + Chiều: từ B đến A (hình 7.18b) 
 + Trị số: 
2 2 2. 2 .100 400 /nBA ABw OA cm s 
- Chiếu hai vế biểu thức (b) lên Ax, ta được: 
0 2
0 0
400
.cos45 400 2 /
cos45 cos45
n
n BA
B BA B
w
w w w cm s 
- Chiếu hai vế biểu thức (b) lên Ay, ta được: 
0.sin 45 nB A BAw w w
 
0 22.sin 45 2000 400 2. 1600 /
2
n
BA A Bw w w cm s
 
21600 16 /
100
BA
AB
w
rad s
BA

 
Vậy: 2 / ;AB rad s 200 2 / ;Bv cm s 
2400 2 / ;Bw cm s 
216 /AB rad s 
114 
Ví dụ 7.4. Cho cơ cấu tay quay - con trượt có tay quay OA = 30cm quay đều với 
vận tốc góc ω0 = 2rad/s. Tại vị trí thanh AB hợp với phương ngang một góc α = 30
0
(hình 7.19). Tìm: 
a) Vận tốc, gia tốc của điểm A? 
b) Vận tốc, gia tốc của điểm B và gia tốc góc của thanh AB? 
A
O
B0
Hình 7.19 
Giải: 
a) Vận tốc, gia tốc của điểm A 
Tay quay OA quay đều quanh quanh O, con chạy B chuyển động tịnh tiến, AB 
chuyển động song phẳng. 
A
P
O
B
v
B
0
v
A
Hình 7.20 
Vận tốc tại A: 0. 2.30 60 /Av R cm s 
Gia tốc tại A: 
n
A A Aw w w
 
Với: 
2
0. . 0 /Aw R R cm s
   
2 2 2
0. 2 .30 120 /
n
Aw R cm s 
2120 /nA Aw w cm s 
b) Vận tốc, gia tốc của điểm B và gia tốc góc của thanh AB. 
115 
Xét thanh AB chuyển động song phẳng. 
Tâm vận tốc tức thời P được xác định như hình vẽ. 
Vì P → ∞ nên thanh AB chuyển động tịnh tiến tức thời (hình 7.20) 
0
A B
AB
v v

* Tìm , :B ABw  
y
x
A
P
O
B
w
A
w
A
n
o
w
BA
v
B w B
w
BA
n
Hình 7.21 
- Chọn A làm cực. Áp dụng định lý hợp gia tốc ta có: 
n n
B A BA A A BA BAw w w w w w w
  
Mà: 0Aw
 (vì ω = const) 
 2. 0nBA ABw AB (vì thanh AB chuyển động tịnh tiến tức thời có 0AB ) 
n
B A BAw w w
 (a) 
Trong đó: 
n
Aw có: + Phương: OA, 
 + Chiều: từ A đến O (hình 7.21) 
 + Trị số: 
2120 /nAw cm s 
BAw

 có: + Phương: vuông góc AB 
 + Chiều: cùng chiều AB (hình 7.21) 
 + Trị số: .BA ABw AB
  
116 
Bw có: + Phương: ngang BO 
 + Chiều: giả thiết như hình 7.21. 
 + Trị số: Bw chưa biết. 
- Chiếu biểu thức (a) lên trục x ta được: 
.cos .sinnB Aw w 
0
2
.sin 3
. tan 120. tan30 120.
cos 3
40 3 / 0
n
nA
B A
w
w w
cm s
Chiều của Bw ngược chiều với giả thiết 
- Chiếu biểu thức (a) lên trục y ta được: 
.sin .cosnB A BAw w w
 
.cos .sinnBA A Bw w w
 
 0 0 2
3 1
120.cos30 ( 40 3).sin30 120. 40 3. 80 3 /
2 2
cm s 
Mà: 
2
0
80 3 4 3
. /
/ sin30 30 / 0.5 3
BA BA
BA AB AB
w w
w AB rad s
AB OA
 
   
Vậy: a) 60 / ;Av cm s 
2120 /Aw cm s . 
 b) 
240 3 / ;Bw cm s 
24 3 /
3
AB rad s . 
C. CÂU HỎI ÔN TẬP 
1. Thế nào là chuyển động song phẳng? Cho ví dụ? 
2. Mô hình khảo sát chuyển động song phẳng? 
3. Phương trình chuyển động song phẳng của hình phẳng? 
4. Biểu thức xác định vận tốc của điểm thuộc vật chuyển động song phẳng? Định lý 
hình chiếu vận tốc? 
5. Tâm vận tốc tức thời là gì? Trình bày bốn trường hợp xác định tâm vận tốc tức thời 
bằng phương pháp thực hành? 
6. Biểu thức xác định gia tốc của điểm thuộc vật chuyển động song phẳng? 
117 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[ ]1 Phan Văn Cúc - Nguyễn Trọng, Giáo trình Cơ học lý thuyết, Nxb. Xây 
dựng – Hà Nội (2003). 
[ ]2 Ninh Quang Hải, Cơ học lý thuyết, Nxb. Xây dựng - Hà Nội (1999). 
[ ]3 Trần Trọng Hỉ - Đặng Thanh Tân, Giáo trình Cơ học lý thuyết, Nxb. 
Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh (2010). 
 4 Vũ Duy Cường, Giáo trình Cơ lý thuyết, Nxb. Đại học Quốc gia TP. Hồ 
Chí Minh (2003). 
 5 X. M. Targ, Giáo trình giản yếu cơ học lý thuyết (dịch), Nxb. ĐH & 
THCN - Hà Nội (1979). 
 6 Nguyễn Quốc Bảo, Đỗ Minh Tiến, Bài giảng Cơ lý thuyết (Cao đẳng), 
Trường ĐH Phạm Văn Đồng - Tài liệu lưu hành nội bộ (2016).