Bài giảng Cơ học lý thuyết - Tuần 12 - Nguyễn Duy Khương

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 12 5/23/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 1
2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ví dụ: Cho hệ có cơ cấu như hình vẽ. Bỏ qua trọng lượng của dầm,
hãy xác định áp lực lên gối B
Giải
Để tính phản lực liên kết tại B ta giải
phóng liên kết và thay vào đó phản lực
NB. Sau đó cho hệ di chuyển khả dĩ,
và ta có điều kiện sau:
1
B
C
s a
s l

 
Do đó:
1
2
E B
b ls s
a l
  
Tính công khả dĩ ta được
( ) ( )BA A N A P   
A B C D
E
Pa b
1l 2l
Bs Cs Es 2
E
C
s b
s l

 
A
B C
D
E
PBN
B B EN s P s  
2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1
2
B B B
b lA N s P s
a l
   
1
2
B B
b lN P s
a l
   
Điều kiện để hệ cân bằng 0Q 
1
2
B
b lQ N P
a l
 
1
2
0B
b lN P
a l
 
1
2
B
b lN P
a l
 
Chú ý: Nếu ta dùng bằng phương pháp tĩnh học bình thường thì sẽ
dài vì phải lập phương trình cân bằng cho 2 dầm AC và CD. Vì thế
ta dùng cách này sẽ ngắn hơn rất nhiều.
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 12 5/23/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 2
2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ví dụ Không kể đến ma sát, hãy xác định các lực suy rộng của hệ bao
gồm thanh AB đồng chất chiều dài l, trọng lượng P và có thể qua quanh
trục A trên mặt phẳng thẳng đứng. Viên bi M trọng lượng Q chuyển động
trên thanh. Chiều dài tự nhiên của lò xo AM là l0, độ cứng bằng k.
Q
B
A
P
0l
x
1
2
q
q x
   
Chọn tọa độ suy rộng
2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Cách 1: Tính lực suy rộng bằng định nghĩa (tự tính)
Cách 2: Tính lực suy rộng bằng công khả dĩ
Cho 1 20, 0q q x     Tính Q1:
Q
B
A
P
 
0l
x
1 ( ) ( )A A P A Q   
Tính công khả dĩ
0sin sin ( )2
lP Q l x     
0sin sin ( )2
lP Q l x    
1 0sin ( )sin2
PlQ Q l x 
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 12 5/23/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 3
2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Cho 1 20, 0q q x     Tính Q2:
1 ( ) ( )sA A Q A F   
Tính công khả dĩ
cos sQ x F x    
 cosQ k x x  
2 cosQ Q k x  
Q
B
A
sF
 
0l
x
x cosQ x k x x     
2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Cách 3: Tính lực suy rộng bằng hàm thế năng
( ) ( ) ( )sV P V Q V F 
21
2P Q
P y Q y k x   
2
0
1( cos ) ( ( ) cos )
2 2A A
lP y Q y l x k x  
1 0sin ( )sin2
lQ Q P Q l x 
  
2 cosxQ Q Q k xx
   
A
cos
2
l 
P
B
I
Q
Py
Qy
Ay
0( ) cosl x 
Chọn mức thế năng
bằng 0 (bất kỳ)
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 12 5/23/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 4
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
2. Phương trình Lagrange II
NỘI DUNG
1. Phương trình tổng quát động lưc học
1. Phương trình tổng quát động lực học
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Phương trình tổng quát động lực học
1
0
N
kx k k k ky k k k kz k k k
k
F m x x F m y y F m z z  
    
Từ phương trình tổng quát động lực học, ta biểu diễn theo hệ tọa
độ suy rộng đầy đủ và độc lập tuyến tính
Phương trình Lagrange II
1
0
N
k k k k
k
F m W r
     
1 1
r r
i i i
i ii i
d T T q Q q
dt q q
 
      
i
i i
d T T Q
dt q q
    
  
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 12 5/23/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 5
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Trường hợp các lực có thế
0
i i
d L L
dt q q
     
Nếu tất cả các lực tác dụng lên hệ là các lực có thế, thì áp dụng
công thức sau
L T 
Hàm L của các tọa độ suy rộng và vận tốc suy rộng bằng hiệu giữa
động năng và thế năng của hệ, được gọi là hàm Lagrange hay hàm
thế. Khi đó phương trình Lagrange của các lực có thế có dạng:
Đây là hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. Số lượng
phương trình bằng đúng số bậc tự do của hệ.
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Ví dụ Không kể đến ma sát, viết phương trình chuyển động của hệ bao
gồm thanh AB đồng chất chiều dài l, trọng lượng P và có thể qua quanh
trục A trên mặt phẳng thẳng đứng. Viên bi M trọng lượng Q chuyển động
trên thanh. Chiều dài tự nhiên của lò xo AM là l0, độ cứng bằng k.
Q
B
A
P
0l
x
1
2
q
q x
   
Chọn tọa độ suy rộng
1 0sin ( )sin2
PlQ Q l x 
2 cosQ Q k x 
Lực suy rộng
Phương trình Lagrange II
i
i i
d T T Q
dt q q
     
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 12 5/23/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 6
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
AB MT T T Tính động năng của hệ
Thanh AB qua quanh A cố định
21
2AB A
T J  2 21 1
2 3
P l
g
  2 21
6
P l
g
 
M chuyển động trượt tương đối trên thanh AB và chuyển
động kéo theo của M là quay quanh A
r
MV
B
A
a
MV
e
MV
M
21
2M M
QT V
g
a r e
M M M MV V V V 
    
Với
 2 22 r e r eM M M M MV V V V V   
 2 2 cosr e r eM M M MV V V V 
 2 2r eM MV V 2 20( )x l x 
2 2 2 2
0( )MV x l x 
2 2 2
0
1 ( ( ) )
2
Q x l x
g
 
(Hoặc dùng Pitago để tính)
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
2 2 2 2 2
0
1 1 ( ( ) )
6 2AB M
P QT T T l x l x
g g
  
Phương trình Lagrange II i
i i
d T T Q
dt q q
     
Tính các đạo hàm theo tọa độ suy rộng thứ nhất
2 2
0
1
1 ( )
3
T T P Ql l x
q g g
     
1
1 1
2
2 2
d T T Q
dt q q
d T T Q
dt q q
         


2 2
0 0
1
1 2 ( ) ( )
3
d T P Q Ql l x x l x
dt q g g g
    
  
1
0T T
q 
   
2 2
0 0 0
1 2 ( ) ( ) sin ( ) sin
3 2
P Q Q Pll l x x l x Q l x
g g g
    
Phương trình vi phân chuyển động thứ nhất
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 12 5/23/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 7
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Tính các đạo hàm theo tọa độ suy rộng thứ hai
2
T T Q x
q x g
     
1
d T Q x
dt q g
   

2
0
2
( )T T Q l x
q x g
     
2
0( ) cos
Q Qx l x Q k x
g g
 
Phương trình vi phân chuyển động thứ hai
Vậy hệ phương trình vi phân chuyển động của toàn hệ
2 2
0 0 0
2
0
1 2 ( ) ( ) sin ( ) sin
3 2
( ) cos
P Q Q Pll l x x l x Q l x
g g g
Q Qx l x Q k x
g g
   
  
