Ảnh hưởng của tương tác trao đổi vùng xa lên các tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin lượng tử với mô hình Heisenberg XXZ

 Tạp chí Khoa học và Giáo dục, trường Đại học Sư phạm Huế 
ISSN 1859-1612, Số 01(45)/2017: tr. 104-112 
Ngày nhận bài: 07/9/2017; Hoàn thành phản biện: 29/9/2017; Ngày nhận đăng: 20/10/2017 
ẢNH HƯỞNG CỦA TƯƠNG TÁC TRAO ĐỔI VÙNG XA LÊN CÁC 
TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHUỖI SPIN LƯỢNG TỬ 
VỚI MÔ HÌNH HEISENBERG XXZ 
PHẠM HƯƠNG THẢO 
NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO, TRẦN THỊ HƯƠNG THỦY 
Khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế 
Email: hthao82@gmail.com 
Tóm tắt: Các tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin lượng tử được 
nghiên cứu bằng cách dùng phương pháp tích phân phiếm hàm với mô hình 
sắt từ XXZ một chiều và tương tác trao đổi vùng xa giữa các thành phần z của 
các spin. Sự phụ thuộc nhiệt độ và cường độ từ trường ngoài của các đại lượng 
nhiệt động lực học được đưa ra. Bên cạnh đó, ảnh hưởng của tương tác trao 
đổi vùng xa lên các tính chất này cũng được nghiên cứu. Các kết quả tính số 
của chúng tôi khá phù hợp với các kết quả tính số cho chuỗi spin XXZ của các 
tác giả khác. 
Từ khóa: chuỗi spin, phương pháp tích phân phiếm hàm, tương tác vùng xa, 
các tính chất nhiệt động lực học, mô hình Heisenberg XXZ. 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Các hệ từ tính 1 chiều biểu hiện đa dạng các hiện tượng thú vị liên quan đến bản chất spin 
lượng tử của hệ, do đó thu hút nhiều sự quan tâm trong thời gian gần đây. Các tính chất 
nhiệt động học của các hệ từ 1 chiều là một trong những chủ đề nghiên cứu sôi động nhất 
cả về mặt lý thuyết lẫn thực nghiệm [1], [2], [3], [4], [5]. Trong số các mô hình được sử 
dụng để mô tả tương tác spin, mô hình Heisenberg lượng tử đóng một vai trò cơ bản và 
quan trọng. Từ khía cạnh tương tác trao đổi dị hướng, có ba loại mô hình Heisenberg, đó 
là mô hình XXX, XXZ và XYZ. Các mô hình này cung cấp một nền tảng tốt để nghiên 
cứu các tính chất nhiệt động học của các hệ từ tính thấp chiều. Về mặt lý thuyết, Tao 
Xiang [3] sử dụng phương pháp nhóm tái chuẩn hóa ma trận để nghiên cứu các tính chất 
nhiệt động lực học của chuỗi spin Hesenberg lượng tử với S=1/2 và S=3/2. J. Sznajd 
nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực học và thăng giáng lượng tử của chuỗi spin ghép 
cặp [4]. Hơn thế nữa, các tính chất nhiệt động lực học của hệ spin 1/2 với mô hình XXZ 
và XYZ với các tương tác vùng xa trong từ trường ngoài đã được nghiên cứu sử dụng 
phép biến đổi Jordan-Wigner [5]. Trong [5], nhóm Li Jialiang đã đưa ra các kết quả cho 
S=1/2 trong gần đúng trường trung bình. Tuy nhiên, phương pháp tích phân phiếm hàm 
mới được sử dụng để nghiên cứu hệ spin ba chiều [6] và hệ spin giả hai chiều [7], [8]. 
Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của tương tác trao đổi vùng xa và dị 
hướng trao đổi lên các tính chất nhiệt động học của chuỗi spin tuyến tính trong mô hình 
XXZ sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm có tính đến các thăng giáng spin cho 
giá trị spin S bất kỳ và so sánh với các kết quả của nhóm Li Jialiang. 
ẢNH HƯỞNG CỦA TƯƠNG TÁC TRAO ĐỔI VÙNG XA LÊN CÁC TÍNH 105 
2. MÔ HÌNH VÀ CÁC ĐẠI LƯỢNG NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC 
Hamiltonian của mô hình chuỗi spin XXZ với tương tác trao đổi vùng xa đồng nhất theo 
hướng z trong một trường ngoài h
 ( h Oz
 ) được cho bởi: 
 1 1 '
, '
1 1
,
2 2
z x x y y z z
j j j j j j j
j j j j
I
H hS J S S S S S S
N
    (1) 
ở đây I là hằng số tương tác trao đổi vùng xa giữa spin zjS 
với các spin '
z
jS , N là số spin 
của chuỗi, J là hằng số tương tác trao đổi giữa spin jS
với các spin lân cận gần nhất 1jS
 ,x y và 
2
1x x y y z zj j j j j j jS S S S S S S S S
. 
Viết lại (1) dưới dạng: 
0 int
0
int
,
,
1
0 ( 0) ,
2
1 1
,
2 2
z z
z z z z
z z j
j
z z
z z z z z z
k x y k
H H H
H NI k S S h I k S S
H J k S k S k I k S k S k 
   

  
 (2) 
ở đây 
2 cos . cos .2 ... cos . ,
2
2 cos . ,
z z z z
z z
I Na
I k k a k a k
N
J k J k a
 (3) 
và 
1
( ) exp , ,z j z j
j
S k S ik z x y z
N
  , , (4) 
với a là hằng số mạng của chuỗi spin. Các thành phần của các toán tử thăng giáng spin 
trong (2) được định nghĩa như sau: 
 , , ,
z z z x x y y
j j j j j j jS S S S S S S   (5) 
ở đây ... Tr e ... Tr eH H  và 1 Bk T . 
Từ (2) ta có thể nhận được biểu thức cho hàm trạng thái Z dưới dạng phiếm hàm: 
106 PHẠM HƯƠNG THẢO và cs. 
   0 int
0
Tr exp( ) Tr exp( )T exp ( )d ,Z H H H

   
 
 
  
 (6) 
hay
1/21/2
^
1/21/2
,
,
0
sh( 1 / 2)
ln 0 ln
sh / 2
ln d exp ln Texp ,
z z
z
z z
z
q
l l
q z
l q
S y
Z N I k S S N
y
I k q S q
q q
J k q S q

 
 
  
   

 

 (7) 
ở đây 0 ,zzy h I k S  (8) 
 ,zq k 
là véctơ sóng hai thành phần, 2 / , 0, 1, 2,..., n n  và d được 
định nghĩa trong [6]: 
,c ,s
0
d d
d 0
d .
2
q
q q 
   (9) 
Phần thực và phần ảo của biến trường q
 được ký hiệu là 
,c q 
 và 
,s q 
. 
Các ký hiệu còn lại trong (7) là: 
0 0
0
1/2
... Tr e ... Tr e ; 
1
; ;
2
; .
H H
x y x y
z z z
z
q q i q S q S q S q iS q
S q S q q N S q k
 
 
     
 (10) 
Từ (7) - (10), chúng tôi tìm ra biểu thức cụ thể cho ln Z của chuỗi spin tuyến tính với mô 
hình XXZ trong phép gần đúng Gaussian bậc một: 
ẢNH HƯỞNG CỦA TƯƠNG TÁC TRAO ĐỔI VÙNG XA LÊN CÁC TÍNH 107 
2 sh 1/ 2 1
ln . 0 .ln ln 1 b'
2 2
sh
2
1 exp b
ln ,
1 exp
z
z
z
z
k
z
k
S yN
Z I S N y I k
y
y y J k
y
 



 (11) 
với b(y) là hàm Brillouin. 
Trong gần đúng trường trung bình, tức là bỏ qua các thăng giáng spin 0jS
  , lúc đó ta 
có 0
0
bz zS S y với 0
0
0 zzy h I k S  , do đó: 
 2 0
0 0
0
sh 1/ 2
ln . 0 b .ln .
2
sh
2
S yN
Z I y N
y

 (12) 
Từ (11) và (12) chúng tôi có thể tính được các đại lượng nhiệt động lực học của chuỗi 
spin như năng lượng tự do F, nội năng U và nhiệt dung riêng C trong gần đúng trường 
trung bình (MFA) và gần đúng thăng giáng spin (SFA). 
Thăng giáng spin m có thể tính được thông qua các hàm tương quan giữa các thăng 
giáng (5) của các thành phần spin: 
1/2
2
,m S 
 (13) 
với 
2
,x x y y z zS S S S S S S      
 (14) 
b' 1
,
1 b'
b 1
, , ,
exp b 1
z
z
z z
zk
zk
y
S S
N y I k
y
S S x y
N y y J k
 

  



 (15) 
ở đây b' y là đạo hàm cấp một của hàm Brillouin. 
Trong lý thuyết thăng giáng spin, khi tính đến bậc một của gần đúng Gaussian , chúng tôi 
nhận được biểu thức cho độ từ hóa tương đối của mỗi spin: 
108 PHẠM HƯƠNG THẢO và cs. 
1/2
2 2
, ,
1 .z
x y z
m S S S S S S S 
  
  
  
 
 (16) 
Từ (16) chúng tôi tính được độ cảm từ của mỗi spin có dạng 
2
2
b''
1 b '
b '1
. ,
exp b 12
2.
b exp b 1 b'
exp b 1
z
z
zk
z z
z
y
y I k
ym y
y y J kh mN h
y y y J k y J k
y y J k



 

     
 (17) 
ở đây b'' y là đạo hàm cấp hai của hàm Brillouin. 
3. TÍNH TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN 
Trong phần tính toán số, chúng tôi sử dụng hằng số tương tác trao đổi giữa các spin lân 
cận gần nhất J như một thang đo năng lượng mới, cụ thể trường ngoài sẽ được biểu diễn 
như h/J, tham số tương tác vùng xa là I/J, nhiệt độ là kBT/J và nhiệt dung riêng là C/kB. 
3.1. Sự phụ thuộc nhiệt độ của các đại lượng nhiệt động lực học 
Hình 1. Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa 
tương đối với các giá trị khác nhau của tham 
số tương tác vùng xa I/J khi không có từ trường 
ngoài trong gần đúng trường trung bình (MFA) 
và gần đúng thăng giáng spin (SFA), ở đây 
S=1/2. 
Hình 2. Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ 
với các giá trị khác nhau của tham số tương 
tác vùng xa I/J khi không có từ trường ngoài 
trong SFA, ở đây S=1/2. 
ẢNH HƯỞNG CỦA TƯƠNG TÁC TRAO ĐỔI VÙNG XA LÊN CÁC TÍNH 109 
Đầu tiên chúng tôi tính toán sự phụ thuộc nhiệt độ của các đại lượng nhiệt động lực học 
với các giá trị khác nhau của tham số tương tác vùng xa I/J khi không có từ trường ngoài 
với S=1/2. Khi h/J=0,0, độ từ hóa, năng lượng tự do và độ cảm từ trên mỗi spin như các 
hàm của nhiệt độ ở I/J=1,2, 1,5, 1,6, 1,7 và 2,0 được chỉ ra trong các hình 1, 2, 3 và 4. 
Các kết quả tính số chỉ ra có chuyển pha bậc hai với các tham số được đưa ra như trên 
(hình 2 và 4) và nhiệt độ tới hạn kBTC/J tăng theo tương tác vùng xa. Đây là bởi vì khi I/J 
tăng, hai số hạng trong H0 của Hamiltonian H đóng một vai trò chính khi tương tác vùng 
xa đủ lớn và chiếm ưu thế so với tương tác giữa các thăng giáng spin trong Hint, do đó 
làm tăng trật tự từ trong hệ spin. Kết quả này hoàn toàn phù hợp với các kết quả được chỉ 
ra trong [5] bởi Li Jialiang và Lei Shuguo, đặc biệt đối với năng lượng tự do F/J trong 
MFA, các kết quả tính số khá phù hợp. Tuy nhiên, trong đồ thị biểu diễn nhiệt dung riêng 
C/kB theo nhiệt độ, các kết quả của chúng tôi chỉ ra một đỉnh không liên tục, đây là điểm 
chuyển pha bậc 2 của hệ spin và cũng phù hợp với đồ thị biểu diễn độ cảm từ J theo 
nhiệt độ. 
Hình 3. Sự phụ thuộc nhiệt độ của năng lượng 
tự do với các giá trị khác nhau của tham số 
tương tác vùng xa I/J khi không có từ trường 
ngoài trong SFA, ở đây S=1/2. Hình chèn vào 
chỉ ra năng lượng tự do trong SFA và MFA với 
I/J=1,7. 
Hình 4. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung 
riêng với các giá trị khác nhau của tham số 
tương tác vùng xa I/J khi không có từ trường 
ngoài trong SFA, ở đây S=1/2. 
Hơn thế nữa, từ hình 1 chúng ta cũng có thể thấy là khi I/J càng tăng, nhiệt độ tới hạn 
trong SFA càng tiến gần tới kết quả trong MFA, đó là vì khi tương tác vùng xa càng lớn 
sẽ làm giảm đi các thăng giáng spin trong hệ. 
3.2. Sự phụ thuộc từ trường ngoài của các đại lượng nhiệt động lực học 
Sự phụ thuộc từ trường ngoài của độ từ hóa được chỉ ra trong hình 5 khi nhiệt độ lớn 
kBT/J=0,8 và hình 6 khi nhiệt độ nhỏ kBT/J=0,01 với các giá trị khác nhau cảu I/J. Từ các 
kết quả tính số trong các hình này có thể thấy là độ từ hóa tăng theo từ trường ngoài và 
cuối cùng đạt tới hằng số khi tất cả các spin định hướng hoàn toàn theo từ trường ngoài. 
Đây là kết quả của sự cạnh tranh giữa năng lượng nhiệt và năng lượng từ (được gây ra 
110 PHẠM HƯƠNG THẢO và cs. 
bởi từ trường ngoài) của chuỗi spin. Mặc khác từ 2 hình này ta còn thấy rằng khi nhiệt độ 
lớn dẫn đến thăng giáng spin lớn, do đó với những trường hợp có tương tác vùng xa nhỏ 
(I/J=0,6 và 0,8 trong hình 5), lúc này các thăng giáng spin chiếm ưu thế nên khi từ trường 
nhỏ độ từ hóa vẫn chưa ổn định, khi I/J tăng lên làm giảm dần các thăng giáng spin dẫn 
đến sự ổn định hơn của độ từ hóa. Khi nhiệt độ nhỏ dẫn đến thăng giáng spin nhỏ (hình 
6), khi h/J=0,0 độ từ hóa trong các trường hợp I/J khác nhau đều có giá trị khác 0, đây 
chính là độ từ hóa tự phát có trong mỗi vật liệu sắt từ và với trường hợp I/J=0,6 độ từ hóa 
cũng chưa ổn định trong đoạn đầu của h/J. 
Hình 5. Sự phụ thuộc từ trường ngoài của độ từ 
hóa với các giá trị khác nhau của tham số tương 
tác vùng xa I/J, ở đây S=1 và kBT/J=0,8. Hình chèn 
vào chỉ ra thăng giáng spin. 
Hình 6. Sự phụ thuộc từ trường ngoài của 
độ từ hóa với các giá trị khác nhau của 
tham số tương tác vùng xa I/J, ở đây S=1 
và kBT/J=0,01. 
Hình 7 chỉ ra sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ và độ từ hóa khi I/J=1,2 với các giá trị 
khác nhau của h/J. Có thể thấy khi h/J tăng dần, đỉnh của độ cảm từ cũng dịch dần về 
phía tăng của nhiệt độ, kết quả này tương ứng với nhiệt độ chuyển pha tăng dần và biến 
mất khi từ trường ngoài đủ lớn, như vậy trật tự từ của hệ spin không thể bị phá hủy một 
cách hoàn toàn bởi một nhiệt độ hữu hạn khi có từ trường ngoài đủ lớn. 
ẢNH HƯỞNG CỦA TƯƠNG TÁC TRAO ĐỔI VÙNG XA LÊN CÁC TÍNH 111 
Hình 7. Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ 
cảm từ với các giá trị khác nhau của 
từ trường ngoài khi I/J=1,2, ở đây 
S=1. Hình chèn vào chỉ ra sự phụ 
thuộc nhiệt độ của độ từ hóa, các 
đường cong đi từ trái qua phải tương 
ứng với h/J tăng dần từ 0,05 - 0,5 
Sự phụ thuộc nhiệt độ và từ trường ngoài của mỗi đại lượng nhiệt động lực học trong tính 
toán của chúng tôi hoàn toàn phù hợp với lý thuyết nhiệt động lực học cho hệ sắt từ [9]. 
4. KẾT LUẬN 
Dựa vào mô hình Heisenberg XXZ với các tương tác vùng xa đồng nhất giữa các thành 
phần z của các toán tử spin trong một từ trường ngoài và áp dụng phương pháp tích phân 
phiếm hàm, các tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin tuyến tính đã được nghiên 
cứu, cụ thể là ảnh hưởng của tham số tương tác vùng xa I/J lên các tính chất nhiệt động 
lực học của chuỗi trong gần đúng trường trung bình và trong gần đúng thăng giáng spin. 
Các kết quả tính số phù hợp khá tốt với các kết quả của các tác giả khác trong cùng điều 
kiện. Hơn thế nữa, sự phụ thuộc nhiệt độ và từ trường ngoài của mỗi đại lượng nhiệt động 
lực học trong tính toán của chúng tôi hoàn toàn phù hợp với lý thuyết nhiệt động lực học 
cho hệ sắt từ. 
LỜI CẢM ƠN 
Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ nghiên cứu khoa học của Đại học Huế trong đề tài mã số 
DHH2016-03-83. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Sugano, T. - Blundell, S.J. - Lancaster, T. - Pratt, F.L. - Mori, H. (2010). “Magnetic 
order in the purely organic quasi-one-dimensional ferromagnet 2-benzimidazolyl 
nitronyl nitroxide”, Physical Review B, 82, p. 180401(R). 
[2] Shirako, Y. - Satsukawa, H. - Wang, X. X. - Li, J. J. - Guo, Y. F. - Arai, M. - Yamaura, 
K. - Yoshida, M. - Kojitani, H. - Katsumata, T. - Inaguma, Y. - Hiraki, K. - Takahashi, 
T. - Akaogi, M. (2011), “Integer spin-chain antiferromagnetism of the 4d oxide 
CaRuO3 with post-perovskite structure”, Physical Review B, 83, p. 174411. 
[3] Xiang, T. (1998). “Thermodynamics of quantum Heisenberg spin chains”, Physical 
Review B, 58, p. 9142. 
112 PHẠM HƯƠNG THẢO và cs. 
[4] Sznajd, J. (2009). “Thermodynamics, geometrical frustration and quantum fluctuations 
in coupled spin chains”, Condensed Matter Physics, 12, p. 697. 
[5] Li, J. - Lei, S. (2008). “Thermodynamic properties of the spin 1/2 ferromagnetic 
Heisenberg chain with long-range interactions”, Physics Letters A, 372, p. 4086. 
[6] Vakarchuk, I.A. - Rudavskii, Yu.K. (1981). “Method of functional intergration in the 
theory of spin system”, Theoretical and Mathematical Physics, 49, p.1002. 
[7] Bach, T.C. - Pham, H.T. (2013). “Thickness dependent properties of magnetic ultrathin 
films”, Physica B, 426, p. 144. 
[8] Bach, T.C. - Pham, H.T. - Nguyen, T.N. (2014). “Role of interactions in size-dependent 
Curie temperature of magnetic ultrathin films”, Ieee Transactions On Magnetics, 50, 
p. 1100104. 
[9] Chikazumi, S. (1997). Physics of Ferromagnetism, Oxford University Press Inc., New 
York. 
Title: INFLUENCE OF LONG-RANGE INTERACTION ON THERMODYNAMIC 
PROPERTIES OF QUANTUM SPIN CHAIN WITH XXZ HEISENBERG MODEL 
Abstract: The thermodynamic properties of the quantum spin chain are investigated using the 
functional integral method with the one-dimensional XXZ ferromagnetic model and long-range 
exchange interactions among the z components of the spins. Temperature dependence and 
external magnetic field strength of the thermodynamic quantities are given. Besides, influence of 
the long-range exchange interaction on these properties of the spin chain is also studied. Our 
numerical results are quite in agreement with ones of other authors for the XXZ spin chain. 
Keywords: spin chain, functional integral method, long-range interaction, thermodynamic 
properties, XYZ Heisenberg model.