Ảnh hưởng của pha ban đầu của laser lên định luật tỉ lệ theo bước sóng của hiệu suất phát xạ sóng điều hòa bậc cao

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH 
TẠP CHÍ KHOA HỌC 
HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION
JOURNAL OF SCIENCE
ISSN: 
1859-3100 
KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ 
Tập 16, Số 6 (2019): 81-91 
NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY
Vol. 16, No. 6 (2019): 81-91
 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website:  
81 
ẢNH HƯỞNG CỦA PHA BAN ĐẦU CỦA LASER 
 LÊN ĐỊNH LUẬT TỈ LỆ THEO BƯỚC SÓNG 
 CỦA HIỆU SUẤT PHÁT XẠ SÓNG ĐIỀU HÒA BẬC CAO 
Đỗ Thị Kim Ngân, Phan Thị Ngọc Loan* 
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh 
* Tác giả liên hệ: Phan Thị Ngọc Loan – Email: loanptn@hcmue.edu.vn 
Ngày nhận bài: 13-11-2018; ngày nhận bài sửa: 29-11-2018; ngày duyệt đăng: 23-3-2019 
TÓM TẮT 
Chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của pha ban đầu (CEP) của laser lên định luật tỉ lệ theo 
bước sóng của hiệu suất phát xạ sóng điều hòa bậc cao (HHG) phát ra từ nguyên tử hydro tương 
tác với laser cường độ cao, xung cực ngắn. Laser tương tác có độ dài xung là hai chu kì quang 
học. Kết quả cho thấy định luật tỉ lệ của hiệu suất HHG giảm chậm nhất với 0C E P = 0 và giảm 
nhanh nhất với 0C EP = 90 . Khi tăng dần CEP của laser, định luật tỉ lệ của hiệu suất HHG giảm 
nhanh dần theo bước sóng. 
Từ khóa: sóng điều hòa bậc cao, định luật tỉ lệ theo bước sóng, laser xung cực ngắn, 
pha ban đầu. 
1. Mở đầu 
Một trong những hiệu ứng phi tuyến xảy ra khi laser cường độ cao, xung cực ngắn 
tương tác với vật chất là phát xạ sóng điều hòa bậc cao (High-order Harmonic Generation, 
viết tắt là HHG). Sóng HHG là những photon phát ra có tần số bằng bội số nguyên lần tần 
số laser chiếu vào nên được gọi là sóng điều hòa bậc cao (Corkum, 1993; Lewenstein, 
Balcou, Ivanov, L’Huillier, & Corkum, 1994). Bội số nguyên này được gọi là bậc HHG. 
Năm 1987, McPherson khi nghiên cứu tương tác laser với khí neon đã tạo ra HHG bậc cao 
đầu tiên. Những năm gần đây, sự phát triển của kĩ thuật tạo xung laser cường độ cao, xung 
cực ngắn đã góp phần vào việc tạo ra sóng HHG có tần số ngày càng cao, lên đến gấp hàng 
trăm lần tần số laser chiếu vào. 
Thông qua việc ghi nhận cường độ theo tần số của sóng HHG phát ra sau quá trình 
tương tác, người ta thu được phổ HHG. Dựa theo sự thay đổi cường độ HHG theo tần số 
mà phổ HHG được chia thành ba miền đặc trưng rõ rệt (Corkum, 1993; Lewenstein et al., 
1994). Ở miền tần số thấp, cường độ HHG giảm nhanh và được gọi là miền nhiễu loạn. 
Sau đó, là miền phẳng với cường độ HHG tương đối ổn định trong một dải tần số HHG. Vị 
trí kết thúc của miền phẳng được gọi là điểm dừng (cutoff). Sau điểm dừng, cường độ 
HHG giảm đột ngột. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 6 (2019): 81-91 
82 
Năm 1994, Lewenstein dựa vào thuyết trường mạnh đã phát triển mô hình ba bước – 
hay còn gọi là mô hình Lewenstein (Lewenstein et al., 1994). Mô hình này đã cung cấp 
bức tranh trực quan, giải thích quá trình phát xạ sóng HHG. Ban đầu, electron bị giam 
trong một hố thế được tạo bởi tương tác Coulomb giữa electron và hạt nhân. Khi có laser, 
điện trường làm biến dạng hố thế năng của nguyên tử, phân tử, và electron bị ion hóa xuyên 
hầm ra miền năng lượng liên tục. Sau đó, ở bước thứ hai, electron được gia tốc bởi điện 
trường laser. Sau nửa chu kì quang học, điện trường laser đổi chiều, electron quay trở lại gặp 
ion mẹ. Lúc này, electron có động năng quay về cực đại 3.17 pU . Cuối cùng, electron tái kết 
hợp với ion mẹ, chuyển từ trạng thái liên tục sang trạng thái liên kết và phát ra HHG. Phổ 
HHG thu được có năng lượng điểm dừng theo quy luật 3.17p pI U với pI là thế ion hóa và 
pU là thế trọng động của electron trong trường laser (Lewenstein et al., 1994). 
Các công trình nghiên cứu về HHG cho thấy nó có vai trò quan trọng trong việc trích 
xuất thông tin cấu trúc nguyên tử, phân tử (M. Lein, Hay, Velotta, Marangos, & Knight, 
2002); tái tạo lớp orbital của phân tử (Itatani et al., 2004); thăm dò thông tin cấu trúc của 
phân tử như dao động hạt nhân (Manfred Lein, 2005); hay nghiên cứu cấu trúc phân bố 
electron (Chen, Yang, Chen, & Wang, 2015). Đặc biệt, tính đến thời điểm hiện tại, HHG là 
nguồn duy nhất tạo ra xung laser có độ dài xung cỡ atto giây (Li, Laughlin, & Chu, 2014) – 
có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu các chuyển động cực nhanh trong phân tử, 
nguyên tử. 
Để tạo ra xung atto giây từ phổ HHG, có hai vấn đề cần quan tâm là cường độ và 
năng lượng điểm dừng của phổ HHG. Khi cường độ phát xạ phổ HHG càng lớn thì xung 
atto giây có cường độ càng cao. Khi năng lượng điểm dừng của phổ HHG lớn thì xung atto 
giây tạo ra có tần số cao và độ dài xung ngắn (Li et al., 2014). Theo Lewenstein 
(Lewenstein et al., 1994) thì năng lượng điểm dừng phụ thuộc vào thế trọng động 2~pU  , 
với  là bước sóng của laser tương tác. Một trong những phương pháp để tăng năng lượng 
điểm dừng là tăng bước sóng laser. Tuy nhiên, tại một giá trị cường độ laser xác định, khi 
tiến hành tăng bước sóng laser thì cường độ phổ HHG giảm (Lewenstein et al., 1994). Sự 
giảm này được mô tả bằng quy luật, được gọi là định luật tỉ lệ bước sóng của hiệu suất 
sóng điều hòa bậc cao (wavelength scaling law of HHG yield) (Du, Xue, Wang, Wen, & 
Hu, 2014; He et al., 2013; Lan, Takahashi, & Midorikawa, 2010; Shiner et al., 2009a; Tate 
et al., 2007; Yavuz, Altun, & Topcu, 2012; Yue, Du, Wu, Li, & Hu, 2017). 
Định luật tỉ lệ bước sóng của hiệu suất HHG đã được nghiên cứu cả mặt lí thuyết (He 
et al., 2013; Lan et al., 2010; Tate et al., 2007; Yue et al., 2017) lẫn thực nghiệm (Shiner et 
al., 2009a). Các tác giả (Shiner et al., 2009b; Tate et al., 2007) đã chỉ ra rằng, khi thay đổi 
bước sóng laser, hiệu suất phát xạ HHG giảm theo quy luật x với ~ 5 6x  trong vùng 
bước sóng ngắn dưới 2000 nm cho nguyên tử. Ngoài ra, sự giảm hiệu suất HHG theo sự 
tăng bước sóng còn được nghiên cứu trong trường laser hai màu (Lan et al., 2010) hay 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Đỗ Thị Kim Ngân và tgk 
83 
trong trường không đồng nhất (He et al., 2013). Năm 2014, nhóm của H. Du (Du et al., 
2014) đã nghiên cứu định luật tỉ lệ theo bước sóng cho nguyên tử Rydberg. Gần đây, năm 
2017, công trình (Yue et al., 2017) đã nghiên cứu định luật tỉ lệ theo bước sóng của hiệu 
suất phát xạ sóng điều hòa bậc cao của phân tử 2H
 kéo dài. Kết quả cho thấy, hiệu suất 
phát xạ HHG trong những trường hợp này (He et al., 2013; Lan et al., 2010; Yue et al., 
2017) giảm theo bước sóng chậm hơn so với trường hợp laser đơn sắc tương tác với 
nguyên tử trong môi trường đồng nhất. Trong các nghiên cứu trên (He et al., 2013; Lan et 
al., 2010; Shiner et al., 2009a; Tate et al., 2007; Yue et al., 2017) các tác giả sử dụng xung 
laser nhiều chu kì nên pha ban đầu của laser (CEP) không ảnh hưởng đến định luật tỉ lệ của 
hiệu suất phát xạ HHG theo bước sóng. Khi nguyên tử tương tác với xung laser ít chu kì thì 
giá trị CEP ảnh hưởng đến phổ HHG và do đó, ảnh hưởng lên định luật tỉ lệ bước sóng của 
cường độ HHG. Cụ thể, năm 2012, I. Yavuz và các cộng sự (Yavuz et al., 2012) đã chỉ ra 
ảnh hưởng của CEP lên định luật tỉ lệ bước sóng của hiệu suất phát xạ HHG phát ra từ 
nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản trong hai trường hợp 0CEP=0 và 0CEP=90 . Kết quả 
(Yavuz et al., 2012) cho thấy khi laser có xung dạng hình thang, với 0CEP=0 định luật tỉ lệ 
là 4.6 , giảm chậm hơn so với trường hợp 0CEP=90 ( 5.2 ). Gần đây, H. Du đã thu được 
kết quả tương tự khi dùng laser hai chu kì có xung dạng hình sin bình phương trong (Du et 
al., 2014). Cụ thể, hiệu suất HHG với 0CEP=0 thay đổi theo bước sóng theo định luật 4.7 ; 
còn với 0CEP=90 là 8.3 . Các công trình (Du et al., 2014; Yavuz et al., 2012) chỉ nghiên 
cứu định luật tỉ lệ theo bước sóng hai giá trị là 0CEP=0 và 0CEP=90 . Theo hiểu biết của 
chúng tôi, ảnh hưởng của CEP lên định luật tỉ lệ theo bước sóng của hiệu suất phát xạ HHG 
của nguyên tử, khi CEP tăng dần từ 00 đến 090 vẫn chưa được nghiên cứu chi tiết. 
Mục tiêu của bài báo này là khảo sát sự ảnh hưởng của CEP của laser lên định luật tỉ 
lệ theo bước sóng của hiệu suất HHG của nguyên tử hydro khi tương tác với xung laser ít 
chu kì. Cụ thể, trong bài báo này, chúng tôi sẽ sử dụng laser có độ dài hai chu kì. 
Để thực hiện mục tiêu trên, trước tiên, chúng tôi sẽ tính phổ HHG ứng với laser có 
CEP và bước sóng khác nhau từ 800 nm đến 1800 nm. Để tính phổ HHG, chúng tôi giải 
số phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (Time Dependent Schrödinger Equation – 
TDSE). Từ đó, chúng tôi sẽ tính hiệu suất phát xạ HHG và chỉ ra sự ảnh hưởng của CEP 
lên định luật tỉ lệ bước sóng của hiệu suất HHG. Song song đó, mô phỏng cổ điển để mô tả 
chuyển động của electron trong trường laser sẽ được tính để giải thích kết quả từ TDSE. 
Đây sẽ là cơ sở để chúng tôi mở rộng nghiên cứu ảnh hưởng của CEP lên định luật tỉ lệ 
bước sóng của hiệu suất HHG của nguyên tử ở trạng thái Rydberg trong các nghiên cứu 
tiếp theo. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 6 (2019): 81-91 
84 
2. Phương pháp 
Trong bài báo này, để tính được phổ HHG, chúng tôi giải số phương trình TDSE. 
Đồng thời, hướng tiếp cận cổ điển nhằm mô tả chuyển động của electron trong trường laser 
cũng sẽ được trình bày trong mục này. 
2.1. Phương pháp TDSE tính phổ HHG 
Phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro khi tương tác với xung laser phân 
cực thẳng trong không gian ba chiều được viết trong hệ tọa độ nguyên tử như sau 
 21 1, ,
2
i r t r E t r t
t r
 
    
rr r r
. (1) 
Điện trường của laser có dạng 
 20 sin sin
d
tE t E t
T
 
, (2) 
Trong đó, các giá trị 0E , dT ,  , lần lượt là cường độ điện trường cực đại, độ dài 
xung, tần số và pha ban đầu (CEP) của laser. Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng laser phân 
cực thẳng có điện trường hướng theo trục z, cường độ 150 TW/cm2 và độ dài xung bằng hai 
chu kì quang học. Chúng tôi xét trường hợp nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản 1s . 
Phương trình (1) được giải bằng phương pháp biểu diễn biến rời rạc DVR (Light, 
Hamilton, & Lill, 1985) và phương pháp tách toán tử (Tong & Chu, 1997). Khi giải số 
TDSE, để tránh sự phản xạ, chúng tôi dùng hàm hấp thụ 
1/4
max
cos
2
cut
cut
r r
r r
 với cutr r ; 
để đảm bảo tính hội tụ, chúng tôi sử dụng các tham số max 450r a.u., 300cutr a.u., điểm 
chia NDVR là 2000 , số lượng hàm cầu max 160L và bước nhảy thời gian 0.07 a.u. 
Gia tốc lưỡng cực điện của nguyên tử thời điểm t có dạng 
 , ,a t r t V r E t r t   , (3) 
với V r là thế năng Coulomb của nguyên tử hydro. 
Cường độ HHG được tính từ gia tốc lưỡng cực điện như sau 
2
1 exp d
2
P a t i t t 
 . (4) 
Hiệu suất phát xạ HHG (HHG yield) được định nghĩa là cường độ HHG lấy tích 
phân trong một dải tần số 1 2  , và có dạng 
2
1
3
1 d
3
I P
c T


  , (5) 
với c , T lần lượt là vận tốc ánh sáng và chu kì quang học của xung laser. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Đỗ Thị Kim Ngân và tgk 
85 
2.2. Mô hình cổ điển mô phỏng chuyển động tự do của electron trong trường laser 
Chúng tôi giả sử rằng, sau khi bị ion hóa ra vùng liên tục, chuyển động của electron 
chỉ bị ảnh hưởng bởi laser. Ảnh hưởng của thế Coulomb của nguyên tử được bỏ qua. 
Chuyển động của electron trong điện trường chính là bước hai của mô hình ba bước của 
Lewenstein (Lewenstein et al., 1994). Do laser tương tác có phân cực thẳng hướng dọc 
theo trục z , do đó, chúng tôi coi z là phương chuyển động của electron. Ban đầu, tại thời 
điểm ion hóa 0t , electron có vị trí ban đầu 0 0z và vận tốc ban đầu 
 0 0 0z t  . (6) 
Định luật II Newton mô tả sự chuyển động của electron trong trường laser 
 z t E t 
 . (7) 
Sau nửa chu kì laser, điện trường đổi chiều và kéo electron gặp ion mẹ. Tại thời điểm 
tái kết hợp rt , electron có vị trí 
 0.rz t (8) 
Như vậy, bó sóng electron di chuyển tự do trong miền liên tục trong khoảng thời tính 
từ thời điểm ion hóa xuyên hầm đến thời điểm tái kết hợp 
0.rt t (9) 
Động năng của electron thu được trong điện trường 
 212k r rW t z t & . (10) 
Electron tái kết hợp với hạt nhân mẹ và chuyển từ trạng thái liên tục về trạng thái 
liên kết phát ra sóng HHG với năng lượng 
 p k rE I W t . (11) 
3. Kết quả 
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày kết quả tính số phổ HHG bằng phương pháp 
TDSE. Sau đó, sự ảnh hưởng của CEP và bước sóng laser lên hiệu suất phát xạ HHG của 
nguyên tử hydro sẽ được trình bày và giải thích bằng mô phỏng cổ điển chuyển động của 
electron trong trường laser. 
3.1. Phổ HHG của nguyên tử hydro 
Kết quả tính phổ HHG của nguyên tử hydro khi tương tác với laser có bước sóng 
khác nhau được trình bày trên Hình 1. Xung laser có cường độ 150 TW/cm2, độ dài xung 
hai chu kì, bước sóng 800 nm, 1400 nm, và 1800 nm với 0CEP=0 (Hình 1a), và 
0CEP=90 (Hình 1b). Kết quả cho thấy, phổ HHG trong hai trường hợp 0CEP=0 và 
0CEP=90 đều được đặc trưng bởi miền phẳng được trải dài trên một miền của tần số. Miền 
phẳng kết thúc bởi điểm dừng rõ rệt. Riêng trường hợp 0CEP=90 , phổ HHG có hai miền 
phẳng tương tứng với hai điểm dừng rõ rệt. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 6 (2019): 81-91 
86 
Hình 1. Phổ HHG của nguyên tử hydro tương tác với xung laser 
có cường độ 150 TW/cm2, hai chu kì, (a) 0CEP=0 và (b) 0CEP=90 với bước sóng khác nhau 
Hình 1 cho thấy, khi tăng bước sóng laser thì năng lượng photon HHG tại vị trí điểm 
dừng tăng. Cụ thể, Hình 1a với 0CEP=0 , bước sóng 800 nm có năng lượng HHG tại vị trí 
điểm dừng ~ 33 eV, với bước sóng 1400 nm là ~ 71 eV, và ~109 eV cho bước sóng 
1800 nm. Các điểm dừng trên thỏa mãn công thức 2.11p pI U . Với 
0CEP=90 (Hình 1b), 
phổ HHG có hai điểm dừng do có hai thời điểm electron bị ion hóa có động năng quay về 
đạt giá trị cực đại (Phan, Do, Nguyen, & Tran, n.d.). Điểm dừng thứ nhất thỏa mãn công 
thức 0.65p pI U và điểm dừng thứ hai thỏa mãn công thức 3.18p pI U . Lưu ý rằng, ở 
đây năng lượng điểm dừng tại 0CEP=0 và 0CEP=90 tuân theo quy luật khác với công thức 
3.17p pI U thông thường. Nguyên nhân là laser sử dụng có độ dài xung ngắn, nên động 
năng electron thu được khi di chuyển tự do trong điện trường phụ thuộc vào độ dài xung và 
CEP của laser (Phan et al., n.d.). Chi tiết ảnh hưởng của CEP lên vị trí điểm dừng trong 
phổ HHG đã được chúng tôi nghiên cứu chi tiết, và đã giải thích thành công sự phụ thuộc 
này bằng mô hình cổ điển trong (Phan et al., n.d.). Thêm vào đó, năng lượng photon tại vị 
trí điểm dừng phụ thuộc vào thế trọng động pU với 
2~pU  nên bước sóng tăng thì năng 
lượng điểm dừng tăng. 
Mặt khác, Hình 1a và Hình 1b cho thấy, khi tăng bước sóng laser thì cường độ phổ 
HHG giảm. Cụ thể, Hình 1a, với 0CEP=0 , cường độ HHG tương ứng bước sóng 1800 nm 
thấp hơn 0.5 bậc so với cường độ HHG của bước sóng 1400 nm, và thấp hơn 2 bậc so với 
cường độ HHG của bước sóng 800 nm. Tương tự, với 0CEP=90 (Hình 1b), cường độ phổ 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Đỗ Thị Kim Ngân và tgk 
87 
HHG ở hai vùng miền phẳng đều giảm dần khi tăng bước sóng laser. Như vậy, khi tăng 
bước sóng laser, điểm dừng của phổ HHG tăng, tuy nhiên, cường độ HHG giảm. Quy luật 
giảm của cường độ HHG khi tăng bước sóng laser tương tác sẽ được chúng tôi khảo sát chi 
tiết trong mục 3.2. 
3.2. Ảnh hưởng của CEP lên định luật tỉ lệ theo bước sóng của hiệu suất HHG của 
nguyên tử hydro 
Để khảo sát chi tiết sự giảm của cường độ HHG theo sự tăng của bước sóng, chúng 
tôi khảo sát bước sóng laser trong vùng 800-1800 nm với 100 nm. Hiệu suất phát xạ 
HHG, được lấy tích phân trong vùng từ p pI U đến 2p pI U . Kết quả hiệu suất HHG cho 
laser với CEP thay đổi từ 00 đến 090 được trình bày trên Hình 2. Hình 2 cho thấy, tại mỗi 
giá trị CEP, hiệu suất HHG giảm khi tăng bước sóng laser tương tác. Sự giảm của hiệu suất 
phát xạ HHG khi tăng bước sóng được thể hiện quy định luật tỉ lệ (Du et al., 2014; He et 
al., 2013; Lan et al., 2010; Shiner et al., 2009b; Tate et al., 2007; Yavuz et al., 2012; Yue et 
al., 2017). Theo đó, hiệu suất phát xạ HHG giảm theo bước sóng theo quy luật ~ xI  . 
Từ dữ liệu hiệu suất HHG được trình bày trên Hình 2, chúng tôi khớp hàm và thu được giá 
trị của x và được trình bày trên Bảng 1. Kết quả cho thấy, với 0CEP=0 , định luật tỉ lệ theo 
bước sóng của hiệu suất phát xạ HHG là 4.7 . Quy luật này giảm chậm hơn so với x 
với ~ 5 6x khi laser có nhiều chu kì (He et al., 2013; Lan et al., 2010; Shiner et al., 
2009b; Tate et al., 2007; Yue et al., 2017). Khi 0CEP=90 , hiệu suất phát xạ HHG giảm 
nhanh hơn, theo quy luật 8.3 . Như vậy, khi tăng bước sóng, laser có 0CEP=0 sẽ cho hiệu 
suất HHG giảm chậm hơn so với với trường hợp 0CEP=90 . Kết quả này phù hợp với công 
trình (Du et al., 2014). 
Hình 2. Sự phụ thuộc vào bước sóng của hiệu suất phát xạ HHG, được lấy tích phân 
 trong vùng từ p pI U đến 2p pI U . Laser tương tác có cường độ 150 TW/cm2, độ dài 
xung hai chu kì, CEP tăng từ 00 đến 090 với bước nhảy 015 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 6 (2019): 81-91 
88 
Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu chi tiết định luật tỉ lệ theo bước sóng của hiệu suất 
HHG khi thay đổi CEP của laser tương tác. CEP tăng từ 00 đến 090 với bước nhảy 015 . 
Định luật tỉ lệ theo bước sóng của cường độ HHG ~ xI  với x được trình bày trên 
Bảng 1 ứng với mỗi giá trị của CEP. Kết quả cho thấy, khi CEP tăng thì giá trị của x tăng 
dần, tức định luật tỉ lệ theo bước sóng của cường độ HHG giảm nhanh hơn. Cụ thể, CEP 
tăng từ 00 đến 075 , tỉ lệ bước sóng giảm chậm dần. Chúng tôi nhận thấy, tỉ lệ bước sóng 
của 0CEP=75 , hiệu suất phát xạ HHG giảm theo 5.8 , thấp hơn so với trường hợp 4.7 
ứng với 0CEP=0 xấp xỉ 1 bậc. Khi CEP tăng từ 075 đến 090 , tỉ lệ bước sóng giảm nhanh 
với tỉ lệ bước sóng của 0CEP=90 thấp hơn 0CEP=75 hơn 2 bậc. Như vậy, 0CEP=0 có 
hiệu suất HHG giảm chậm nhất với 4.7 và 0CEP=90 có hiệu suất giảm nhanh nhất với 
8.3 . Khi tăng CEP của laser, định luật tỉ lệ giảm nhanh dần theo bước sóng laser. Tóm 
lại, chúng tôi đã nghiên cứu chi tiết sự ảnh hưởng của CEP lên định luật tỉ lệ theo bước 
sóng laser của hiệu suất HHG, được lấy tích phân trên các vùng tần số khác và cho quy luật 
tương tự. 
Bảng 1. Giá trị của x trong định luật tỉ lệ theo bước sóng ~ xI  của hiệu suất HHG, 
 được lấy tích phân trong vùng từ p pI U đến 2p pI U ứng với khi CEP của laser khác nhau 
CEP 00 150 300 450 600 750 900 
x 4.7 4.8 5.1 5.3 5.5 5.8 8.3 
Để giải thích sự giảm nhanh dần của hiệu suất phát xạ HHG theo bước sóng khi tăng 
CEP của laser, chúng tôi tính độ rộng của bó sóng electron. Theo công trình (Du et al., 
2014; Lan et al., 2010), định luật tỉ lệ theo bước sóng giảm là do độ rộng của bó sóng 
electron a  lan truyền trong miền liên tục tăng theo bước sóng. Hơn nữa, độ rộng này 
lại tỉ lệ thuận với thời gian chuyển động  của electron trong miền liên tục theo biểu thức 
2
2 2
0 2
0
a a
a

 , (12) 
trong đó, 0a là độ rộng ban đầu của bó sóng tại thời điểm ion hóa. 
Hình 3. Thời gian chuyển động của electron trong miền liên tục ứng với năng lượng electron 
1.5 pU . Laser có bước sóng từ 800 nm đến 1800 nm với CEP từ 
00 đến 090 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Đỗ Thị Kim Ngân và tgk 
89 
Thời gian chuyển động của electron trong miền liên tục  ứng với năng lượng 
1.5 pU được chúng tôi tính bằng mô phỏng cổ điển và trình bày trên Hình 3 cho các CEP 
của laser khác nhau. Hình 3 cho thấy, với mỗi CEP cố định, thời gian chuyển động tự do 
của electron  tăng dần khi tăng bước sóng laser. Thời gian chuyển động  sẽ làm cho 
hiệu suất phát xạ HHG giảm (Du et al., 2014; Lan et al., 2010). Mặt khác, khi tăng dần giá 
trị CEP của laser, thời gian chuyển động của electron trong miền liên tục tăng, do đó, độ 
rộng bó sóng tăng nên hiệu suất HHG giảm dần. Chính điều này đã làm cho định luật tỉ lệ 
theo bước sóng của hiệu suất phát xạ HHG giảm nhanh dần khi tăng CEP của laser. 
Trường hợp 0CEP=90 có thời gian chuyển động tự do của electron lớn nhất nên định luật tỉ 
lệ bước sóng giảm nhanh nhất. Ngược lại, 0CEP=0 có thời gian chuyển động  ngắn nhất 
nên hiệu suất HHG giảm theo bước sóng chậm nhất. 
4. Kết luận 
Dựa vào phổ HHG được tính bằng phương pháp giải số TDSE cho nguyên tử hydro 
khi tương tác với xung laser hai chu kì với pha ban đầu CEP khác nhau, chúng tôi đã chỉ ra 
ảnh hưởng của CEP laser lên định luật tỉ lệ bước sóng của hiệu suất phát xạ HHG. Khi giá 
trị CEP cố định, tăng bước sóng laser tương tác thì hiệu suất phát xạ HHG giảm và được 
mô tả bởi định luật tỉ lệ của bước sóng ~ xI  . Khi giá trị CEP tăng dần từ 00 đến 090 , 
giá trị của x tăng dần, tức hiệu suất HHG giảm nhanh dần theo bước sóng. Thông qua mô 
phỏng cổ điển chuyển động của electron trong trường laser, chúng tôi nhận thấy, khi CEP 
tăng thì thời gian chuyển động tự do của electron tăng dần, do đó, hiệu suất phát xạ HHG 
giảm dần. Như vậy, chúng tôi đã giải thích thành công sự ảnh hưởng của CEP lên định luật 
tỉ lệ bước sóng của hiệu suất HHG cho nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản. Đây sẽ là cơ 
sở để chúng tôi mở rộng nghiên cứu ảnh hưởng CEP lên định luật tỉ lệ bước sóng của hiệu 
suất HHG cho nguyên tử Rydberg. 
 Tuyên bố về quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
 Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được tài trợ bởi đề tài Khoa học và Công nghệ cấp 
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, mã số CS2017.19.49. Các tác 
giả chân thành cảm ơn TS Hoàng Văn Hưng – Khoa Vật lí, Trường Đại học Sư phạm 
Thành phố Hồ Chí Minh đã hỗ trợ kĩ thuật giải TDSE tính phổ HHG. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Chen, J., Yang, Y., Chen, J., & Wang, B. (2015). Probing dynamic information and spatial 
structure of Rydberg wave packets by harmonic spectra in a few-cycle laser pulse. Physical 
Review A, 91(4), 043403. 
Corkum, P. B. (1993). Plasma perspective on strong-field multiphoton ionization. Physical Review 
Letters, 71(13), 1994. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 6 (2019): 81-91 
90 
Du, H., Xue, S., Wang, H., Wen, Y., & Hu, B. (2014). Wavelength scaling of high-order harmonic 
yield from a Rydberg atom in a few-cycle pulse. Journal of the Optical Society of America 
B, 31(7), 1621. 
He, L., Wang, Z., Li, Y., Zhang, Q., Lan, P., & Lu, P. (2013). Wavelength dependence of high-
order-harmonic yield in inhomogeneous fields. Physical Review A, 88(5), 053404. 
Itatani, J., Levesque, J., Zeidler, D., Niikura, H., Pépin, H., Kieffer, J. C.,  Villeneuve, D. M. 
(2004). Tomographic imaging of molecular orbitals. Nature, 432(7019), 867. 
Lan, P., Takahashi, E. J., & Midorikawa, K. (2010). Wavelength scaling of efficient high-order 
harmonic generation by two-color infrared laser fields. Physical Review A, 81(6), 061802(R). 
Lein, M., Hay, N., Velotta, R., Marangos, J. P., & Knight, P. L. (2002). Interference effects in high-
order harmonic generation with molecules. Physical Review A, 66(2), 023805. 
Lein, Manfred. (2005). Attosecond probing of vibrational dynamics with high-harmonic 
generation. Physical Review Letters, 94(5), 053004. 
Lewenstein, M., Balcou, P., Ivanov, M. Y., L’Huillier, A., & Corkum, P. B. (1994). Theory of 
high-harmonic generation by low-frequency laser fields. Physical Review A, 49(3), 2117. 
Li, P. C., Laughlin, C., & Chu, S. I. (2014). Generation of isolated sub-20-attosecond pulses from 
He atoms by two-color midinfrared laser fields. Physical Review A, 89(2), 023431. 
Light, J. C., Hamilton, I. P., & Lill, J. V. (1985). Generalized discrete variable approximation in 
quantum mechanics. The Journal of Chemical Physics, 82(3), 1400. 
Phan, N.-L., Do, K.-N., Nguyen, T.-P., & Tran, P.-H. (n.d.). The influence of the carrier-envelope-
phase of the laser on the cutoff energy in the high-order harmonic spectra from Rydberg 
atom. HCMUE Journal of Science, (accepted). 
Shiner, A. D., Trallero-Herrero, C., Kajumba, N., Bandulet, H. C., Comtois, D., Légaré, F.,  
Villeneuve, D. M. (2009a). Wavelength scaling of high harmonic generation efficiency. 
Physical Review Letters, 103(7), 073902. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.103.073902 
Shiner, A. D., Trallero-Herrero, C., Kajumba, N., Bandulet, H. C., Comtois, D., Légaré, F.,  
Villeneuve, D. M. (2009b). Wavelength scaling of high harmonic generation efficiency. 
Physical Review Letters, 103(7), 073902. 
Tate, J., Auguste, T., Muller, H. G., Salières, P., Agostini, P., & Dimauro, L. F. (2007). Scaling of 
wave-packet dynamics in an intense midinfrared Field. Physical Review Letters, 98(1), 
013901. 
Tong, X., & Chu, S. (1997). Theoretical study of multiple high-order harmonic generation by 
intense ultrashort pulsed laser fields : A new generalized pseudospectral time-dependent 
method. Chemical Physics, 217, 119. 
Yavuz, I., Altun, Z., & Topcu, T. (2012). Wavelength scaling of high-order-harmonic-generation 
efficiency by few-cycle laser pulses: Influence of carrier-envelope phase. Physical Review A, 
86(4), 043836. 
Yue, S., Du, H., Wu, H., Li, J., & Hu, B. (2017). Wavelength dependence of high-harmonic yield 
in stretched molecules. Chemical Physics, 494(August), 56-60. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Đỗ Thị Kim Ngân và tgk 
91 
THE INFLUENCE OF THE CARRIER-ENVELOPE-PHASE 
 OF THE LASER ON THE WAVELENGTH SCALING LAW 
 OF HIGH-ORDER HARMONIC GENERATION 
Do Thi Kim Ngan, Phan Thi Ngoc Loan* 
Ho Chi Minh City University of Education 
* Corresponding author: Phan Thi Ngoc Loan – Email: loanptn@hcmue.edu.vn 
Received: 13/11/2018; Revised: 29/11/2018; Accepted: 23/3/2019 
ABSTRACT 
This paper investigates the influence of the carrier-envelope-phase (CEP) of the laser on the 
wavelength scaling law of high-order harmonic generation (HHG) yield from hydrogen atom, 
exposed to an ultrashort and intense laser. The laser duration is two optical cycles. The results 
show that, the scaling law is slowest decreased with 0C E P = 0 and fastest decreased with 
0C E P = 90 . As the CEP of laser increases, the wavelength scaling law of HHG yield is faster 
decreased. 
Keywords: high-order harmonic generation, wavelength scaling law, ultrashort laser, carrier-
envelope-phase.