Ảnh hưởng của điều kiện đầu đến tính chất chuyển động của cơ cấu tay quay-con trượt

Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 245
ẢNH HƯỞNG CỦA ĐIỀU KIỆN ĐẦU ĐẾN TÍNH CHẤT CHUYỂN ĐỘNG 
CỦA CƠ CẤU TAY QUAY – CON TRƯỢT 
Nguyễn Văn Khang1*, Nguyễn Văn Quyền1, Phạm Thị Mai Anh2 
Tóm tắt: Hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng là một hệ phi tuyến mạnh. Trong 
các hệ phi tuyến mạnh, với cùng một bộ tham số của hệ có thể tồn tại nhiều nghiệm 
khác nhau, phụ thuộc vào các điều kiện đầu. Các cơ cấu là một dạng điển hình của 
hệ nhiều vật. Chuyển động quay toàn vòng của khâu nối giá của cơ cấu được quan 
tâm nghiên cứu trong động lực học máy. Trong bài báo này, các phương trình 
chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng được thiết lập dưới dạng các 
phương trình vi phân - đại số. Sau đó, sử dụng phương pháp khử nhân tử Lagrange 
biến đổi hệ phương trình vi phân - đại số về hệ phương trình vi phân thường. Để 
thấy rõ sự phụ thuộc của chuyển động quay toàn vòng của khâu nối giá vào điều 
kiện đầu, ta giải hệ phương trình chuyển động của cơ cấu với các điều kiện đầu 
khác nhau. Các kết quả mô phỏng số bằng phần mềm MATLAB® đã cho thấy ảnh 
hưởng của điều kiện đầu tới tính chất chuyển động quay toàn vòng của cơ cấu. 
Từ khóa: Phương trình Lagrange dạng nhân tử; Hệ phi tuyến mạnh; Phương trình vi phân - đại số; Ổn định 
hóa Baumgarte; Chuyển động quay toàn vòng. 
1. MỞ ĐẦU 
Động lực học hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng là bài toán đang được quan tâm 
nghiên cứu. Để thiết lập phương trình chuyển động của các mô hình cơ học này, người ta 
thường sử dụng các phương trình Lagrange dạng nhân tử, các phương trình Newton-Euler, 
các phương trình Kane dạng nhân tử [1-7]. Nếu chọn số lượng các tọa độ suy rộng xác 
định vị trí của cơ hệ lớn hơn số bậc tự do của hệ thì ta nhận được hệ phương trình vi phân-
đại số mô tả chuyển động của cơ hệ dưới dạng tường minh. Để giải hệ phương trình 
chuyển động loại này, hiện nay có ba phương án: 
- Tích phân trực tiếp hệ phương trình vi phân-đại số. 
- Biến đổi hệ phương trình vi phân đại số về hệ phương trình vi phân thường với số tọa độ 
suy rộng lớn hơn số bậc tự do của hệ. Sau đó tích phân số hệ phương trình vi phân nhận được. 
- Biến đổi hệ phương trình vi phân đại số về hệ phương trình vi phân thường với số tọa 
độ suy rộng bằng số bậc tự do của hệ. Sau đó, tích phân số hệ phương trình vi phân nhận 
được. 
Trong bài báo này áp dụng phương trình Lagrange dạng nhân tử thiết lập phương trình 
chuyển động của cơ cấu tay quay - con trượt phẳng, sau đó, sử dụng phương pháp thứ hai 
để giải hệ phương trình chuyển động của cơ cấu. Các phương trình vi phân mô tả chuyển 
động của cơ cấu là hệ các phương trình vi phân phi tuyến mạnh. Như đã biết [8-10], 
nghiệm của hệ phi tuyến mạnh có nhiều tính chất khác với các hệ tuyến tính và các hệ phi 
tuyến yếu. Chẳng hạn như nghiệm của hệ phi tuyến mạnh có thể là các nghiệm hỗn độn, 
phụ thuộc rất nhạy cảm vào các điều kiện đầu. Nghiên cứu sự phụ thuộc của chuyển động 
quay toàn vòng của cơ cấu vào các điều kiện đầu là phần quan trọng nhất của bài báo. Các 
nghiên cứu mô phỏng số chuyển động của cơ cấu với các điều kiện đầu khác nhau đã cho 
thấy một vài hiệu ứng phi tuyến mới của chuyển động của cơ cấu khảo sát. 
2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐỘNG LỰC HỌC THUẬN HỆ NHIỀU VẬT CÓ 
CẤU TRÚC MẠCH VÒNG 
Trong mục này nhắc lại một số kiến thức cần thiết về động lực học thuận hệ nhiều vật 
có cấu trúc mạch vòng. Xét hệ nhiều vật hôlônôm f bậc tự do có cấu trúc mạch vòng. Vị 
Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 N.V. Khang, N.V. Quyền, P.T.M. Anh, “Ảnh hưởng của điều kiện  tay quay – con trượt.” 246 
trí của hệ được xác định bởi n tọa độ suy rộng dư: 
 1 2
, ,...,
T
n
s s s s (1) 
 Trong đó có f tọa độ suy rộng độc lập: 
1 2
[ , ,..., ]T
f
q q q q (2) 
 và r tọa độ suy rộng phụ thuộc: 
1 2
...
T
r
z z z 
z (3) 
 Như thế, ta có hệ thức: n f r (4) 
 Để đơn giản, ta xét hệ nhiều vật hôlônôm chịu liên kết giữ và dừng. Sử dụng phương 
trình Lagrange dạng nhân tử, các phương trình vi phân – đại số mô tả chuyển động của hệ 
có dạng [1]: 
 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )T
s
t     M s s C s s s g s s (5) 
 ( ) f s 0 (6) 
trong đó: ( )M s
là ma trận khối lượng suy rộng của hệ, ( )t là vectơ lực suy rộng ứng 
với các lực hoạt động không thế, 
1 2
, ,...,
T
r
    là véctơ các nhân tử Lagrange, 
1 2
, ,...,
T
r
f f f 
f 0 là các điều kiện ràng buộc, 
s 
là ma trận Jacobi của f cỡ 
r n , ( )C s,s
là ma trận quán tính ly tâm và Coriolis, ( )g s là véc tơ lực suy rộng ứng 
với các lực hoạt động là lực có thế. 
Để biến đổi các phương trình (5) và (6) một cách thuận tiện, ta đưa vào kí hiệu: 
 1 1
( , , ) ( ) ( , ) ( ), ( , , ) nt t t     p s s C s s s g s p s s
 (7) 
Phương trình (4) bây giờ có dạng: 
 1( ) ( , , )
T
s
t    M s s s p s s (8) 
Đạo hàm hai lần phương trình liên kết (6) ta thu được các phương trình 
 ( ) ( )
s


  
f
f s s s s 0
s
 (9) 
 ( ) ( ) ( )
s s
    f s s s s s 0 (10) 
Trong đó: r n
s
  . Từ (10) suy ra: 
2
( ) ( , )
s s
    s s s p s s (11) 
Các phương trình (8) và (11) có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau: 
 1
2


s pM
p0
T
s
s
= (12) 
Khi sử dụng các phương pháp số để giải hệ phương trình vi phân – đại số, sau mỗi 
bước tích phân, do sai số tính toán mà các giá trị ,
k k
s s không còn thỏa mãn phương trình 
ràng buộc vị trí và vận tốc: 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 247
 ( ) , ( ) ( 1,2,...)
k k
k f s 0 f s 0 (13) 
Theo phương pháp ổn định hóa Baumgarte [11], thay vì giải phương trình: 
 0 f (14) 
Ta sẽ tiến hành giải phương trình: 
 22 , 0, 0    f f f 0 (15) 
Các số hạng 
22 , f f đóng vai trò các số hạng điều khiển. Nhờ việc giải phương 
trình (15) thay cho giải phương trình (14) ta sẽ khử dần hoặc khử hoàn toàn được sai số 
tích lũy trong quá trình tích phân. 
Như vậy, hệ phương trình (12) được thay thế bàng hệ phương trình sau: 
1
2




s pM
p0
T
s
s
= (16) 
 với 2
2 2
( , ) ( ) 2 ( ) ( ), ( , ) r
s s
        p s s s s s s f s p s s (17) 
Khi ta chọn ,  là các hằng số dương thì từ hệ phương trình vi phân (15) ta được
 f 0 khi t . Khi đó, các điều kiện ràng buộc f 0 sẽ được đảm bảo tốt 
hơn tại mỗi bước tính. Sự ổn định các nghiệm của hệ phương trình (15) tại mỗi bước 
tính được đảm bảo. Lúc đầu Baumgarte chọn 5, 5  và thấy kết quả tính khá tốt. 
Theo kinh nghiệm thường chọn ,  từ 1 đến 20 hoặc 
Δ Δ
21= , =
t t
  với t là 
bước tích phân. Phương pháp ổn định hóa Baumgarte nói chung đơn giản và có hiệu quả 
cao. Tuy nhiên, tại các giá trị kì dị động học, phương pháp này mới không cho các kết 
quả mong muốn. 
Để khử các nhân tử Lagrange, biến đổi hệ phương trình vi phân đại số (16) về hệ 
phương trình vi phân thường với số phương trình bằng số tọa độ suy rộng dư của hệ ta 
nhắc lại nội dụng của định lý trực giao [1, 12]. Theo định lý trực giao ta có hệ thức: 
 s
 R 0 hay T T
s
 R 0 (18) 
 trong đó: 
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2
1 2 1 2
... ...
( ) , ( )
... ...
f r
q z
r r r r r r
f r
f f f f f f
q q q z z z
f f f f f f
q q q z z z
       
       
       
      
      s s (19) 
1( )
z q
 
E
R s (20) 
với E là ma trận đơn vị, , ( ) .f n f E R s Như thế ta có: 
 , ,r f r
s q z q z
     (21) 
Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 N.V. Khang, N.V. Quyền, P.T.M. Anh, “Ảnh hưởng của điều kiện  tay quay – con trượt.” 248 
Hệ phương trình (16) có thể viết lại dưới dạng như sau: 
1
( ) ( ) ( , , )T
s
t   M s s s p s s (22) 
2
( ) ( , )
s
   s s p s s (23) 
Nhân bên trái hai vế phương trình (22) với ma trận TR và chú ý đến tính trực giao 
(18), hệ phương trình (22), (23) được biến đổi về dạng: 
 1
2
( ) ( )
( )
( , , )
( , )
T T
s
t 
 



R s M s
s p
R p s s
s
s s
. (24) 
Nếu ta đưa vào các ký hiệu: 
 1
2
( ) ( ) )
( )
( ( ( , , )
, ( , , )
( , )
T T
s
t
t
 



R s M s s
p
s p
R p s s
A s s
s s
 (25) 
thì hệ phương trình (24) có dạng: 
 ( ) ( , , )t  A s s p s s
(26) 
Hệ phương trình (26) là hệ phương trình vi phân thường của các tọa độ suy rộng dư 
s . Như thế, ta đã biến đổi hệ phương trình vi phân - đại số (5), (6) về hệ phương trình vi 
phân thường (26). Hệ (26) là một hệ n phương trình vi phân thường. Chú ý rằng khi giải 
hệ phương trình này các điều kiện đầu của các tọa độ suy rộng phụ thuộc phải thỏa mãn các 
điều kiện liên kết. Việc tính toán các điều kiện đầu này đã được trình bày kỹ trong [1, 6]. 
3. PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ CẤU TAY - QUAY CON TRƯỢT 
Khảo sát cơ cấu tay quay – con trượt chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng như 
hình 1. Cơ cấu gồm có 3 khâu động với các khối lượng 1,2, 3im i và các mô men 
quán tính khối 1,2iI i . Các kích thước chiều dài và vị trí khối tâm lần lượt là 1 , 2 , 
1 1
OC a ,
2 2
AC a . Cơ cấu chuyển động dưới tác dụng của ngẫu lực có mômen M 
lên tay quay và lực nằm ngang F
 tác dụng lên con trượt C. 
Hình 1. Cơ cấu tay quay – con trượt. 
Đây là một hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng với số bậc tự do của cơ cấu 1f . 
Chọn 3 tọa độ suy rộng dư 1 2 3
T
q q q 
q xác định vị trí của cơ cấu. 
M 
A
B
2
C
C
1
C
F
C
x 
1
a
1

2
a 2
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 249
Trong đó, 
1 2 3
, ,
C
q q q x  . Từ hình vẽ, ta dễ dàng thiết lập các phương 
trình liên kết:
 1 1 2 3 1 1 2 2 3, , cos cos 0f q q q l q l q q (27) 
 2 1 2 3 1 1 2 2, , sin sin 0f q q q l q l q (28) 
Động năng của cơ cấu: 
1 2 3
T T T T 
trong đó: 2 21 1 1 1 1
1
,
2
T I m a q  
2
2 2
2 2 2 2
1 1
2 2C
T m v I  
 2 2 2 2 22 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2
1 1
2 cos
2 2
T m l q a q l a q q q q I q 
     
2 2
3 3 3 3 3
1 1
2 2
T m v m q  
Từ đó biểu thức động năng có dạng: 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 3 3
2 1 2 1 2 1 2
1 1 1
2 2 2
cos
T I m a m l q I m a q m q
m l a q q q q
  
 
Thế năng của cơ cấu: 
1 1 1 2 1 1 2 2 2
sin sin sinm ga q m gl q m ga q 
Công ảo của các lực hoạt động không thế: 
1 3
A M q F q   
Lực suy rộng của các lực hoạt động không thế: * * *
1 2 3
, 0,Q M Q Q F 
Thế các biểu thức động năng, thế năng, lực suy rộng và các phương trình liên kết vào 
các phương trình Lagrange dạng nhân tử: 
2
1
,i
k i
ik k k
fd T T
Q
dt q q q

      


 1,2, 3k 
Ta suy ra hệ phương trình chuyển động của cơ cấu: 
2 2 2
1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
1 1 2 1 1 1 11 2 1 1
cos sin
cos sin cos
I m a m l q m l a q q q m l a q q q
m a m l g q M l q l q 
  
 (29) 
 2 22 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2
2 2 2 1 2 2 2 2 2
cos sin
cos sin cos
m l a q q q I m a q m l a q q q
m ga q l q l q 
  
 (30) 
3 3 1
m q F   (31) 
Các phương trình vi phân (29), (30), (31) và các phương trình đại số phi tuyến (27), 
(28) tạo thành hệ phương trình vi phân-đại số mô tả chuyển động cơ cấu tay quay con trượt. 
4. MÔ PHỎNG SỐ VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN ĐẦU KHÁC NHAU 
Các phương trình vi phân – đại số (27) đến (31) ta có thể viết lại dưới dạng ma trận 
(12). Từ đó, khử các nhân tử Lagrange để được hệ 3 phương trình vi phân phi tuyến (26). 
Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 N.V. Khang, N.V. Quyền, P.T.M. Anh, “Ảnh hưởng của điều kiện  tay quay – con trượt.” 250 
Sau đó, sử dụng phần mềm MATLAB giải hệ phương trình vi phân phi tuyến của hệ. Để 
nghiên cứu mô phỏng số ta chọn các tham số về hình học và khối lượng của cơ cấu theo 
tài liệu [2] và ghi lại trong bảng 1. 
Bảng 1. Các tham số hình học và khối lượng của cơ cấu. 
Khâu 
Chiều dài 
i
 
[m] 
Vị trí khối 
tâm 
i
a [m] 
Khối lượng 
[kg] 
Mô men quán tính khối đối 
với khối tâm [kgm2] 
1 2 0 200 450 
2 3.5 1.75 35 35 
3 25 
Ngoài ra cho biết [2] 
- Ngẫu lực phát động: 41,450 0.01sin( ) , 2 radM t Nm
s
   
; 
- Lực khí nén F là hàm của vận tốc và vị trí của con trượt C: 
+ Khi 0
C
x  thì 
282,857
62,857 1.5 5
6
110,000 1 sin2 5.25 5 5.5
C
C
C C
khi x
xF
x khi x 
+ Khi 0
C
x  thì 0F . 
Đồ thị lực khí nén tác dụng lên con trượt được vẽ trên hình 2. 
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
[ ]
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
F
[
]
10
5
Hình 2. Đồ thị lực khí nén tác dụng lên con trượt. 
Sau đây trình bầy một số kết quả nghiên cứu mô phỏng số, sử dụng phần mềm 
MATLAB. 
Trường hợp 1 (Quay rung lắc của tay quay): 
0 0
, 1 radrad
s
 . 
Sử dụng các phương trình liên kết (27) và (28) ta xác định được các điều kiện đầu của 
các tọa độ phụ thuộc (0), (0), (0), (0).
C C
x x   Các kết quả mô phỏng số bằng phần 
mềm MATLAB được trình bầy trên các hình 3 và 4. Trong đó, hình 3 là đồ thị góc quay 
( )t của khâu dẫn AB, góc lắc ( )t của khâu nối BC và vận tốc góc của chúng 
( ), ( )t t  . Hình 4 cho biết quy luật chuyển động và vận tốc con trượt C. Từ hình 3 ta 
thấy khâu dẫn AB của cơ cấu không quay được toàn vòng. 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 251
Hình 3. Đồ thị chuyển động của tay quay và thanh truyền. 
Hình 4. Đồ thị chuyển động của con trượt. 
(
)
[
]
Hình 5. Phương trình liên kết. 
Hình 5 cho ta biết độ chính xác của kết quả tính thông qua đồ thị của phương trình 
 2 2
1 2
f f f (32) 
Trường hợp 2 (Quay toàn vòng của tay quay): 
0 0
, 1
2
radrad
s
 . 
Mô phỏng số tương tự như trường hợp 1. Sử dụng các phương trình liên kết (27) và 
(28) ta xác định được các điều kiện đầu của các tọa độ phụ thuộc 
(0), (0), (0), (0).
C C
x x   Các kết quả mô phỏng số bằng phần mềm MATLAB được 
trình bầy trên các hình 6 và 7. Trong đó, hình 6 là đồ thị góc quay ( )t của khâu dẫn AB, 
góc lắc ( )t của khâu nối BC và vận tốc góc của chúng ( ), ( )t t  . Hình 7 cho biết quy 
luật chuyển động và vận tốc con trượt C. Từ hình 6 ta thấy khâu dẫn AB của cơ cấu quay 
được toàn vòng. 
Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 N.V. Khang, N.V. Quyền, P.T.M. Anh, “Ảnh hưởng của điều kiện  tay quay – con trượt.” 252 
5 10 15
[ ]
-10
0
10
20
30
40
5 10 15
[ ]
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Hình 6. Đồ thị chuyển động của tay quay và thanh truyền. 
C
[
]
C
[
]
Hình 7. Đồ thị chuyển động của con trượt. 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
[ ]
0
2
4
6
(
)
[
]
10
-13
Hình 8. Phương trình liên kết. 
Hình 8 cho ta biết độ chính xác của kết quả tính thông qua đồ thị của chuẩn bậc hai 
của hai phương trình liên kết tính theo công thức (32). 
Trường hợp 3 (Quay rung lắc của tay quay): 
0 0
, 0.5 radrad
s
 . 
Mô phỏng số tương tự như trường hợp 1. Sử dụng các phương trình liên kết (27) và 
(28) ta xác định được các điều kiện đầu của các tọa độ phụ thuộc 
(0), (0), (0), (0).
C C
x x   Các kết quả mô phỏng số bằng phần mềm MATLAB được 
trình bầy trên các hình 9 và 10. Trong đó, hình 9 là đồ thị góc quay ( )t của khâu dẫn AB, 
góc lắc ( )t của khâu nối BC và vận tốc góc của chúng ( ), ( )t t  . Hình 10 cho biết quy 
luật chuyển động và vận tốc con trượt C. Từ hình 9 ta thấy khâu dẫn AB của cơ cấu không 
quay được toàn vòng. 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 253
Hình 9. Đồ thị chuyển động của tay quay và thanh truyền. 
Hình 10. Đồ thị chuyển động của con trượt. 
Hình 11. Phương trình liên kết. 
Hình 11 cho ta biết độ chính xác của kết quả tính thông qua đồ thị của chuẩn bậc hai 
của hai phương trình liên kết tính theo công thức (32). 
Trường hợp 4 (Quay toàn vòng của tay quay): 
0 0
, 1.5 radrad
s
 . 
Mô phỏng số tương tự như trường hợp 1. Sử dụng các phương trình liên kết (27) và 
(28) ta xác định được các điều kiện đầu của các tọa độ phụ thuộc 
(0), (0), (0), (0).
C C
x x   Các kết quả mô phỏng số bằng phần mềm MATLAB được 
trình bầy trên các hình 12 và 13. Trong đó, hình 12 là đồ thị góc quay ( )t của khâu dẫn 
AB, góc lắc ( )t của khâu nối BC và vận tốc góc của chúng ( ), ( )t t  . Hình 13 cho biết 
quy luật chuyển động và vận tốc con trượt C. Từ hình 12 ta thấy khâu dẫn AB của cơ cấu 
quay được toàn vòng. 
Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 N.V. Khang, N.V. Quyền, P.T.M. Anh, “Ảnh hưởng của điều kiện  tay quay – con trượt.” 254 
Hình 12. Đồ thị chuyển động của tay quay và thanh truyền. 
Hình 13. Đồ thị chuyển động của con trượt. 
Hình 14. Phương trình liên kết. 
Hình 14 cho ta biết độ chính xác của kết quả tính thông qua đồ thị của chuẩn bậc hai 
của hai phương trình liên kết tính theo công thức (32). 
5. KẾT LUẬN 
Các phương trình vi phân mô tả chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng 
nói chung là hệ phương trình vi phân phi tuyến mạnh [4]. Như đã biết trong động lực học 
phi tuyến, nghiệm của các phương trình này phụ thuộc vào lưu vực hút [8-10]. Trong bài 
báo này nhờ kỹ thuật mô phỏng số, ta thấy sự phụ thuộc của các dạng chuyển động của cơ 
cấu tay quay con trượt vào các điều kiện đầu. Tuy các tham số động học và khối lượng của 
cơ cấu như nhau, lực tác dụng lên cơ cấu như nhau nhưng dạng chuyển động của cơ cấu 
rất khác nhau, phụ thuộc vào các điều kiện đầu: khâu dẫn của cơ cấu có thể quay toàn 
vòng mà cũng có thể quay dao động. Việc tìm hiểu các tính chất này của chuyển động cơ 
cấu tay - quay con trượt không gian và nhiều cơ cấu khác đang được nghiên cứu ở Bộ môn 
Cơ học ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Nguyễn Văn Khang, “Động lực học hệ nhiều vật (in lần thứ 2)”, NXB Khoa học và 
Kỹ thuật Hà Nội (2017). 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 255
[2]. E. J. Haug, “Computer Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems, 
Vol.1: Basic Methods”, Allyn and Bacon, Boston (1989). 
[3]. J. G. De Jalon, E. Bayo, “Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody 
Systems”, Springer-Verlag, New York (1994). 
[4]. W. Schiehlen, P. Eberhard,“Applied Dynamics”, Springer-Verlag, Berlin (2014). 
[5]. T. R. Kane, D. A. Levinson, “Dynamics/ Theory and Applications”, McGraw-Hill, 
New York (1985). 
[6]. Nguyen Van Khang, “Ein Beitrag zur dynamischen Analyse ebener Koppelgetriebe 
mit mehreren Freiheitsgraden mit Hilfe der numerischen Lösung der Bewegungs-
differentialgleichungen”, Diss. A, TH Karl-Marx-Stadt (1973). 
[7]. Nguyen Van Khang, “Kronecker product and a new matrix form of Lagrange 
equations with multipliers for constrained multibody systems”, Mechanics Research 
Communications 38 (2011), pp. 294-299. 
[8]. W. Schiehlen (Editor), “Nonlinear Dynamics in Engineering Systems”, Springer, 
Berlin (1989). 
[9]. S. H. Strogatz, “Nonlinear Dynamics and Chaos”, Westview Press (2000) 
[10]. Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng, “Nhập môn động lực học phi tuyến 
và chuyển động hỗn độn”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2005). 
[11]. J. Baumgarte, “Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamic systems”, 
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1 (1972), pp. 1-16. 
[12]. W. Blajer, W. Schiehlen, W. Schirm, “A projective criterion to the coordinate 
partitioning method for multibody dynamics”, Archive of Applied Mechanics, 64 
(1994), pp. 86-98. 
ABSTRACT 
INFLUENCE OF INTINIAL CONDITIONS ON MOVEMENT BEHAVIORS 
OF THE SLIDE-CRANK MECHANISM 
Closed loop multibody systems are strong nonlinear systems. In strong 
nonlinear systems with the same system parameters, there may be many 
different solutions depending on the initial conditions. The mechanism is typical 
form of closed loop multibody systems. The determination of the rotational 
movement of the drive element of the mechanism is an interesting problem in 
machine dynamics. Using Lagrangian equations with multipliers, the equations 
of motion of the slide-crank mechanism have been established. The multiplier 
partitioning method is used to eliminate Lagrangian multiplier and to transform 
the differential - algebraic equations into ordinary differential equations. In 
order to study the dependence of the motion of the mechanism on the initial 
conditions, we solve the system of differential equations for motion of 
mechanism with different initial conditions. Numerical simulation results using 
MATLAB® software show the influence of initial conditions on the rotational 
motion of the mechanism. 
Keywords: Lagrangian equations with multipliers; Strong nonlinear systems; Differential - algebraic 
equations; Baumgarte stabilization method; Rotational motion. 
Nhận bài ngày 14 tháng 02 năm 2018 
Hoàn thiện ngày 18 tháng 3 năm 2018 
Chấp nhận đăng ngày 20 tháng 3 năm 2018 
Địa chỉ: 1 Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; 
 2 Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Mỏ - Địa chất. 
 * Email: khang.nguyenvan2@hust.edu.vn.